9.3.1平面向量的基本定理-【题型·技巧培优系列】2022-2023年高一数学同步精讲精练（苏教版2019必修第二册）

9.3.1平面向量的基本定理 题型1 基底的概念及辨析 2 ◆类型1概念辨析 2 ◆类型2正交分解的理解 4 题型2 用基底表示向量 5 ◆类型1利用向量的线性运算转化 6 ◆类型2列方程（组） 7 题型3 利用平面向量的基本定理求参数 9 题型4 平面向量基本定理的应用 10 知识点一.平面向量基本定理 1. 平面向量基本定理： 条件 e1，e2是同一平面内两个不共线的向量 结论 对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2 基底 若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底 2．对基底的理解 (1)基底的两个主要特征 ①基底是两个不共线向量； ②基底的选择是不唯一的． 平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一个基底的条件． (2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底． 3．准确理解平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的． (2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决． 4．平面向量基本定理的应用 (1)平面向量基本定理唯一性的应用：设a，b是同一平面内的两个不共线向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则 (2)重要结论设{e1，e2}是平面内一个基底 a=λ1e1+λ2e2 λ2=0时，a与e1共线 λ1=0时，a与e2共线 λ1=λ2=0时，a=0 知识点二.平面向量的正交分解 平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解． 题型1 基底的概念及辨析 【方法总结】对平面向量基本定理的理解 （1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的. （2）基底给定时，分解形式唯一. λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数值. （3）e1，e2是同一平面内所有向量的一组基底，则当a与e1共线时，λ2=0；当a与e2共线时，λ2=0；当a=0时，λ1=λ2=0. （4）由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量. ◆类型1概念辨析 【例题1-1】（2022春·江苏苏州·高一江苏省震泽中学期中）已知、是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式1-1】1．（2022春·江苏扬州·高一统考期中）设，是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式1-1】2．(多选)（2022春·江苏徐州·高一校考阶段练习）如图所示，设O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，给出下列向量组，其中可作为该平面内所有向量的基底的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式1-1】3.设、是平面内的两个向量，则有 A．、一定平行 B．、的模相等 C．对同一平面内的任一向量，都有 D．若、不共线，则对平面内的任一向量都有 【变式1-1】4.如果，是平面内所有向量的一组基底，那么 A．若实数，使，则 B．空间任一向量可以表示为，这里， C．对实数，，不一定在平面内 D．对平面中的任一向量，使的实数，有无数对 【变式1-1】5.已知是平面内两个不共线的向量，给出下列四个命题： ①可以表示平面内的所有向量； ②对于平面内的任意向量，使的实数，有无数对； ③若向量与共线，则有且只有一个实数，使得； ④若实数，，使，则 其中假命题的是 A．①② B．②③ C．③④ D．仅② 【变式1-1】6.（2021·高一课时练习）已知不共线，，要使能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为________________. ◆类型2正交分解的理解 【例题1-2】下列可作为正交分解的基底的是 A．等边三角形中的和 B．锐角三角形中的和 C．以角A为直角的直角三角形中的和 D．钝角三角形中的和 【变式1-2】1．平面直角坐标系内，为坐标原点，若点，则向量的向量正交分解形式是___________． 【变式1-2】2．如图，分别用基底表示向量，并求出它们的坐标 【变式1-2】3．向量，，，在正方形网格中的位置如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】4．已知分别是方向与轴正方向、轴正方向相同的单位向量，O为原点，设(其中)，则点A位于（    ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1-2】5．