5.1.1变化率问题课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第五章一元函数的导数及其应用 1 5.1导数的概念及其意义 2 在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识定性地研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道“对数增长”是越来越慢的, “指数爆炸”比“直线上升”快得多, 进一步地, 能否精确定量地刻画变化速度的快慢呢? 下 面我们就来研究这个问题. 知识回顾 5.1.1变化率问题 一个变量相对于另一个变量的变化而变化的快慢程度叫做变化率. 4 平均速度 问题1 高台跳水运动员的速度 探究 在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h (单位: m)与起跳后的时间t (单位: s)存在函数关系 如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢? 平均速度 思考 计算运动员在 这段时间里的平均速度，你发现了什么？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗? 瞬时速度 探究 瞬时速度与平均速度有什么关系? 你能利用这种关系求运动员在t=1 s时的瞬时速度吗? 设运动员在时刻附近某一时间段内的平均速度是，可以想象，如果不断缩短这一时间段的长度，那么将越来越趋近于运动员在时刻的瞬时速度。 为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念. 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. 瞬时速度 任意取一个时刻1十∆t， ∆t是非零时间改变量 当∆t >0时， 1十∆t在1之后，用运动员在时间段[1, 1十∆t]内的平均速度近似表示运动员在t=1时的瞬时速度： 当∆t <0时，1十∆t在1之前，同样时间段[1十∆t, 1]内的平均速度近似表示运动员在t=1时的瞬时速度. 注意：Δt是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0. 瞬时速度 通过观察可得，当∆t无限趋近于0，即无论t从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，平均速度都无限趋近于－5. 时, 在时间段 内 时，在时间段 内 …… …… 瞬时速度 事实上，由 可以发现，当∆t在无限趋近于0时，事实上，由 也无限趋近于0，所以 无限趋近于－5. 这与前面得到的结论一致. 数学中，我们把－5叫做“当△t无限趋近于0时， 的极限”，记为 从物理的角度看，当时间间隔| ∆t |无限趋近于0时，平均速度 就无限趋近于t= 1时的瞬时速度，因此，运动员在t=1s 时的瞬时速度v(1)=－5 m/s. 也就是说，当时间间隔| ∆t |无限趋近于0时，平均速度 在某一时刻t=t0的极限就是运动员在t=t0时的瞬时速度，即 练习 思考 (1) 求运动员在t=2 s时的瞬时速度； (2) 如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻t0的瞬时速度? 小结 瞬时速度的本质是平均速度的极限. 可用 说明 曲线的切线 我们知道，如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切. 对于一般的曲线C，如何定义它的切线呢? 下面我们以抛物线f(x)=x2为例进行研究. 探究 你认为应该如何定义抛物线f(x)=x2在点P0(1, 1)处的切线? x y O 1 2 1 2 3 4 P P0 将点P逐渐靠近点P0，观察割线P0P的位置变化情况. T 当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定的位置的直线P0T称为抛物线 f(x)=x2在点 P0(1,1) 处的切线. 切线的斜率 思考：如何求抛物线 f(x)=x2在点 P0(1,1) 处的切线P0T 的斜率k0呢？ 割线位置 切线位置 无限逼近 割线斜率 切线斜率 无限逼近 取极限 记点P的横坐标 x=1+Δx，则点P的坐标即为 (1+Δx,(1+Δx)2). 于是割线P0P 的斜率 让横坐标变化量 Δx趋近于0，观察割线斜率的变化情况. 切线的斜率 当Δx无限趋近于0，割线斜率k无限趋近于2. 切线的斜率 我们把2叫做“当Δx无限趋近于0时， 的极限“，记为 从几何图形上看，当横坐标间隔| Δx |无限变小时， 当点P无限趋近于点P0时，