第七章 随机变量及其分布【章末复习】-2022-2023学年高二数学单元复习过过过（人教A版2019选择性必修第三册）

第七章 随机变量及其分布 章末复习 1 1 知识框架 2 重点题型 一、条件概率与全概率公式 2 重点题型 2.掌握条件概率与全概率运算，重点提升逻辑推理和数学运算的核心素养. 2 重点题型 例1　在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率. 2 重点题型 解　方法一　设“摸出第一个球为红球”为事件A，“摸出第二个球为黄球”为事件B，“摸出第二个球为黑球”为事件C， 2 重点题型 2 重点题型 反思感悟　(1)利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)可使条件概率的计算较为简单，但应注意这个性质的使用前提是“B与C互斥”. (2)为了求复杂事件的概率，往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件，求出简单事件的概率后，相加即可得到复杂事件的概率. 跟踪训练1　抛掷两颗质地均匀的骰子各一次. (1)向上的点数之和为7时，其中有一个的点数是2的概率是多少？ 解　记事件A表示“两颗骰子中，向上的点数有一个是2”，事件B表示“两颗骰子向上的点数之和为7”， 则事件AB表示“向上的点数之和为7，其中有一个的点数是2”， (2)向上的点数不相同时，向上的点数之和为4或6的概率是多少？ 解　记事件Mi表示“两颗骰子向上的点数之和为i”，则事件“向上的点数之和为4或6”可表示为M＝M4∪M6，其中事件M4与M6互斥，记事件N表示“两颗骰子向上的点数不相同”， 则事件MiN表示“两颗骰子向上的点数不相同，且向上的点数之和为i”. 例2　甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4,0.5,0.7.飞机被一人击中而击落的概率为0.2，被两人击中而击落的概率为0.6，若三人都击中，飞机必定被击落，求飞机被击落的概率. 解　设B＝“飞机被击落”，Ai＝“飞机被i人击中”，i＝1,2,3，则B＝A1B＋A2B＋A3B， 依题意，得P(B|A1)＝0.2，P(B|A2)＝0.6，P(B|A3)＝1. 由全概率公式P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)， 设Hi＝“飞机被第i人击中”，i＝1,2,3， P(A3)＝P(H1H2H3)， 又P(H1)＝0.4，P(H2)＝0.5，P(H3)＝0.7， 所以P(A1)＝0.36，P(A2)＝0.41，P(A3)＝0.14， 则P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3) ＝0.36×0.2＋0.41×0.6＋0.14×1＝0.458. 即飞机被击落的概率为0.458. 反思感悟　“化整为零”求多事件的全概率问题 (2)已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i＝1,2，…，n)，事件B发生的可能性，就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和. 跟踪训练2　假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如表所示： 品牌 甲 乙 其他 市场占有率 50% 30% 20% 优质率 95% 90% 70% 在该市场中任意买一部智能手机，求买到的是优质品的概率. 解　用A1，A2，A3分别表示事件买到的智能手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌，B表示买到的是优质品的事件，则Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥， 依题意，可得P(A1)＝50%，P(A2)＝30%，P(A3)＝20%，且P(B|A1)＝95%，P(B|A2)＝90%，P(B|A3)＝70%， 由全概率公式，得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝50%×95%＋30%×90%＋20%×70%＝88.5%. 2 重点题型 二、离散型随机变量的分布列、均值和方差 2 重点题型 1.均值和方差都是随机变量的重要的数字特征，方差是建立在均值的基础之上，它表明了随机变量所取的值相对于它的均值的集中与离散程度，二者的联系密切，在现实生产生活中的应用比较广泛. 2.掌握离散型随机变量的分布列、均值和方差，重点提升逻辑推理与运算的核心素养. 例3　甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪80元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分每单抽成6元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表： 甲公司送餐员送餐单数频数表： 送餐单数 38 39 40 41 42 天数 10 15 10 10 5 乙公司送餐员送餐单数频数表： 送餐单数 38 39 40 41