5.1.1变化率问题（2）课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.1.1 变化率问题（2） 5.1 导数的概率及其意义 1.瞬时速度和平均速度的关系 平均速度 瞬时速度 瞬时速度的本质是平均速度的极限. (1) 平均速度： (2) 瞬时速度： 2.求物体在时刻t0的瞬时速度一般步骤： 复习引入 几何意义？ 问题2 抛物线的切线的斜率 探究新知 我们知道，如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切. 对于一般的曲线C，如何确定它的切线呢？ 下面我们以抛物线为例进行研究. 探究：对于抛物线 f(x)=x2，应该如何定义它在点 P0(1,1) 处的切线呢？ 与研究瞬时速度类似，为了研究抛物线f(x)=x2在点P0(1, 1)处的切线，我们通常在点P0(1, 1)的附近任取一点P(x, x2)，考察抛物线f(x)=x2的割线P0P的变化情况. x y 1 2 1 2 3 4 O • P P0 • x y 1 2 1 2 3 4 O • P P0 • 观察 如图示，当点P(x, x2)沿着抛物线f(x)=x2趋近于点P0(1, 1)时，割线P0P有什么变化趋势? T • 我们发现，当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为抛物线f(x)=x2在点P0(1, 1)处的切线. 探究：我们知道斜率是确定直线的一个要素。如何求抛物线 f(x)=x2在点 P0(1,1) 处的切线P0T 的斜率k0呢？ 探究新知 割线位置 切线位置 无限逼近 割线斜率 切线斜率 无限逼近 取极限 记点P的横坐标 x=1+Δx，则点P的坐标即为 (1+Δx,(1+Δx)2). 于是割线P0P 的斜率 Δx可以是正值，也可以是负值，但不为0 ∆x <0 ∆x >0 ∆x ∆x 通过观察可得，当∆x无限趋近于0，即无论x从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，割线P0P的斜率k近都无限趋近于2. 我们可以用割线P0P的斜率k近似地表示切线P0T的斜率k0，并且可以通过不断缩短横坐标间隔|∆x|来提高近似表示的精确度，得到如下表格： 7 从几何图形上看，当横坐标间隔| Δx |无限变小时， 点P无限趋近于点P0，于是割线P0P无限趋近于点P0处的切线P0T . 割线P0P的斜率k 无限趋近于点P0处的切线的斜率k0. 因此，切线P0T 的斜率k0=2. x y O 1 2 1 2 3 4 P P0 T 事实上，由 可以发现，当∆x在无限趋近于0时， 无限趋近于2，我们把2叫做“当△x无限趋近于0时， 的极限”，记为 思考 观察问题1中的函数 的图象，平均速度 的几何意义是什么? 瞬时速度v(1)呢? t h 1 O • (1, h(1)) • (1+∆t, h(1+∆t)) 例1 求抛物线f(x)=x2+2x在点P (1, 3)处切线的斜率. 变式 求抛物线f(x)=x2+2x在点P (1, 3)处的切线方程. 1. 你认为应该怎样定义抛物线f(x)=x2在点(x0, x02)处的切线? 试求抛物线f(x)=x2在点(－1, 1)处切线的斜率. 课本P64 2. 求抛物线f(x)=x2+1在点(0, 1)处的切线方程. 课本P64 课堂小结 回顾本节课的学习内容，回答下列问题: 1.割线的斜率与切线的斜率有什么关系？ 2.你能总结一下求切线斜率的过程方法吗？ 第一步,计算连接点（)与（（+x)）的 第二步，取极限: 割线斜率 切线斜率 取极限 $