5.1.1变化率问题（1）课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及其应用 牛 顿 莱 布 尼 茨 17世纪中叶,数学史上发生了一件具有划时代意义 的重大事件,那就是微积分的诞生。 背景介绍 微积分的创立,具有深刻的时代背景。从欧洲文艺复兴时期到17 世纪上半叶,社会、经济、科学、贸易、航运等的发展,对数学提出了新的要求。紧接着函数概念的引入,微积分应运而生,这是继 欧氏几何后数学史上最伟大的创造。 微积分不仅是数学思想史上的里程碑,也是科学思想史上的的里程碑。微积分在物理,化学,天文,地理以及经济等各领域中都有非常广泛而重要的应用。 恩格斯说:“社会一旦有技术上的需要,则这种需要就会比十所大学更能把科学推向前进” 微积分的创立与处理四类科学问题直接相关 1 求物体在任意时刻的速度与加速度 2 求曲线的切线 3 求函数的最大值与最小值 4 求长度、面积、体积和重心等 导数是微积分的核心概念之一,是现代数学的基本概念,蕴含着微积分的基本思想;导数定量地刻画了函数的局部变化,是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等性质的基本方法. 导数的本质是什么? 平均速度 导数的概念及其意义 割线斜率 切线斜率 瞬时速度 导数的运算 导数在研究函数中的应用 微积分的创立与发展 本章知识框架 5.1.1 变化率问题(1) 5.1 导数的概率及其意义 创设情境 问题1 高台跳水运动员的速度 问题1 高台跳水运动员的速度 在一次高台跳水运动中,某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系: 如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢? 我们可以把整个运动时间段分成许多小段, 用运动员在每段时间内的平均速度近似地描述他的运动状态. 探究新知 问题1 高台跳水运动员的速度 请计算对应时间段的平均速度: 思考 计算运动员在 这段时间里的平均速度,并思考下列问题: (1) 运动员在这段时间里是静止的吗? (2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗? 为了精确刻画运动员的运动状态,需要引入瞬时速度的概念. 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度(instantaneous velocity). 探究 瞬时速度与平均速度有什么关系? 你能利用这种关系求运动员在t=1 s时的瞬时速度吗? 设运动员 为了求求运动员在t=1时刻的瞬时速度,我们在t=1之后或之前,任意取一个时刻1十∆t, ∆t是非零时间改变量,可以是正值,也可以是负值,但不为零。 当∆t >0时, 1十∆t在1之后,把运动员在时间段[1, 1十∆t]内近似看成匀速直线运动,计算时间段[1, 1十∆t]内的平均速度,用近似表示运动员在t=1时的瞬时速度; 当∆t <0时,1十∆t在1之前,在时间段[1十∆t, 1]可作类似处理. 为了提高近似表示的精确度,我们不断缩短时间间隔,得到如下表格: 当∆t <0时,在时间段[1十∆t, 1]内 当∆t >0时, 在时间段[1, 1十∆t]内 ∆t ∆t 通过观察可得,当∆t无限趋近于0,即无论t从小于1的一边,还是从大于1的一边无限趋近于1时,平均速度都无限趋近于-5. 14 事实上,由 可以发现,当∆t在无限趋近于0时, 平均速度无限趋近于-5. 这与前面得到的结论一致. 数学中,我们把-5叫做“当△t无限趋近于0时, 的极限” 从物理的角度看,当时间间隔| ∆t |无限趋近于0时,平均速度 就无限趋近于t= 1时的瞬时速度,因此,运动员在t=1s 时的瞬时速度v(1)=-5 m/s. 也就是说,当时间间隔| ∆t |无限趋近于0时,平均速度 在某一时刻t=t0的极限就是运动员在t=t0时的瞬时速度,即 记为: 思考 (1) 求运动员在t=2 s时的瞬时速度; (2) 如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻t0的瞬时速度? 1. 求问题1中高台跳水运动员在t=0.5 s时的瞬时速度. 课本P61 2. 火箭发射t s后,其高度(单位: m)为h(t)=0.9t2. 求: (1) 在1≤t≤2这段时间里,火箭爬高的平均速度; (2) 发射后第10 s时,火箭爬高的瞬时速度. 课本P61 3. 一个小球从5 m的高处自由下落,其位移y (单位: m)与时间t (单位: s) 之间的关系为 y(t)=-4.9t2 . 求t =1 s时小球的瞬时速度. 课本P62 1.如何计算平均速度与瞬时速度?二者有什么关系? 课堂小结 瞬时速度的本质是平均速度的极限. (1) 平均速度: (2) 瞬时速度: 2.本节课学习到了哪些思想方法? 回顾本节课内容,回答下列问题: 极限思想 Lavf55.33.100 $