5.2.1基本初等函数的导数 课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.2.1基本初等函数的导数 引言 由导数的定义可知,一个函数的导数是唯一确定的。在必修第一册中我们学过基本初等函数,并且知道,很多复杂函数都是通过对这些函数进行加、减、乘、除等运算得到的。由此自然想到,能否先求出基本初等函数的导数,然后研究出导数的“运算法则”,这样就可以利用导数的运算法则和基本初等函数的导数求出复杂函数的导数。本节我们就来研究这些问题。 新知探究 温故知新 新知探究 3 思考:导数与导函数有什么区别和联系?那么如何求几种常见函数 的导数? 新知探究 4 问题探究 解:因为 = 所以 == 若表示路程关于时间的函数,则=0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0,即一直处于静止状态。 新知探究 解:因为 ===1 所以 == 若表示路程关于时间的函数,则=1可以解释为某物体的瞬时速度始终为1的匀速直线运动。 新知探究 解:因为 == = = + 所以 == 新知探究 =2x表示函数的图像,上点处切线的斜率为2x,说明随着变化,切线的斜率也在变化。另一方面,从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看,=2x表明; 当时,随着增加, 越来越小,减少得越来越慢; 当时,随着增加, 越来越大,得越来越快; 若表示路程关于时间的函数,则=2x可解释为某物体做变速运动,它在时刻速度为2x。 新知探究 0 常见函数的导数 新知探究 9 新知探究 10 小试牛刀 小练 小试牛刀 小练 小练 小练 小练 典例解析 例析 16 , 例析 17 归纳总结 新知探究 18 跟踪训练 小练 19 例2 假设某地在20年间的平均通货膨胀率为5%,物价P(单位:元)与时间t(单位:年)有如下函数关系 其中为时的物价,假定某种商品的=1,那么在第10个年头,这种商品的价格上涨的速度大约是多少?(精确到0.01元/年) 解:根据基本初等函数的导数公式表有, ln1.05 所以;ln1.05 所以,在第10个年头这种商品的价格约以的速度上涨。 典例解析 例析 跟踪训练 跟踪训练2 质点的运动方程是S(t)=sin t,则质点在t=时 的速度为_;质点运动的加速度为_; 小练 典例解析 例析 例析 归纳总结 新知探究 跟踪训练 新知探究 当堂达标 练习巩固 当堂达标 练习巩固 当堂达标 练习巩固 当堂达标 练习巩固 当堂达标 练习巩固 1.求函数在x0处的导数的方法. (1)求Δy=f (x0+Δx)-f (x0). (2)求变化率eq \f(Δy,Δx)=eq \f(f x0+Δx -f x0 ,Δx). (3)求极限的y′|eq \s\do10(x=x0)=f ′(x0)=eq \o(lim,\s\do14(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx). 2.怎样求导函数? (1)求改变量Δy=f (x+Δx)-f (x). (2)求比值eq \f(Δy,Δx)=eq \f(f x+Δx -f x ,Δx). (3)求极限的y′=f ′(x)=eq \o(lim,\s\do14(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx). cos x -sin x 基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f (x)=c(c为常数) f ′(x)=_ f (x)=xα(α∈Q,且α≠0) f ′(x)=_ f (x)=sin x f ′(x)=_ f (x)=cos x f ′(x)=_ αxα-1 ex eq \f(1,xln a) eq \f(1,x) f (x)=ax(a>0,且a≠1) f ′(x)=_(a>0,且a≠1) f (x)=ex f ′(x)=_ f (x)=logax(a>0,且a≠1) f ′(x)= (a>0,且a≠1) f (x)=ln x f ′(x)= axln a 法二(导函数的函数值法): ∵Δy=eq \f(4, x+Δx 2)-eq \f(4,x2)=-eq \f(4Δx 2x+Δx ,x2 x+Δx 2), ∴eq \f(Δy,Δx)=-eq \f(4 2x+Δx ,x2 x+Δx 2), ∴y′=eq \o(Δx→0,\s\up17(lim))eq \f(Δy,Δx)=-eq \o(Δx→0,\s\up17(lim))eq \f(4 2x+Δx ,x2 x+Δx 2)=-eq \f(8,x3). ∴y′eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(,x=2))=-eq \f(8,23)=-1. 1.函数y=eq \f(4,x2)在x=2处的导数为_. 解析:法一(导数定义法): ∵Δy=eq \f(4, Δx+2 2)-eq \f(4,22)=eq \f(4, Δx+2 2)-1=-eq \f( Δx 2+4Δx, Δx+2 2), ∴eq \f(Δy,Δx)=-eq \f(Δx+4, Δx+2 2), ∴y′eq \b\