椭圆讲义-浙江省杭州市临平职业高级中学2023届中职数学高考复习

椭圆 知识点1 椭圆的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 注：在椭圆的定义中必须要注意以下两个问题 (1)定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量． (2)常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆． ①若，M的轨迹为线段； ②若，M的轨迹无图形 知识点2 椭圆的标准方程及简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0),_ B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a), B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长 长轴长＝，短轴长＝ 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝ 对称性 对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0) 离心率 e＝(0<e<1)（注：e＝＝.） 基础训练 1. 动点M到定点F1(-4,0)和F2(4,0)的距离的和为10,则动点M的轨迹方程为( ) A. B. C. D. 2椭圆上的点与右焦点的最近距离为( ) A. 1 B. 4 C.5 D. 3.已知椭圆.下列说法错误的是( ) A.焦点为(0，-3)，(0，3) B.离心率为e= C.长轴在x轴 D.短轴长为8 4.中心为坐标原点,焦点在坐标轴上,长轴长为4.短轴长为2的椭圆的标准方程为 5.已知直线过椭圆的左焦点F1交椭圆于A，B两点。F2为右焦点，则△ABF₂ 的周长为 重难点突破 考点1 椭圆的定义与标准方程 求椭圆方程的两种常用方法: (1)由椭圆的几何性质及相关条件,直接求出a，b的值; (2)设出椭圆的标准方程,根据已知条件列方程组，用待定系数法求解a，b 的值。注意:当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式。 【例1】已知平面内动点P到定点F1(-5，0)，F₂(5，0)的距离之和为26，那么点P的轨迹是何种曲线?并求出它的方程. 【变式训练】已知△ABC的周长为16,且B,C两点的坐标分别为(一3,0),(3,0),则A点的轨迹方程是 【例2】设椭圆4x²+3y2=12的左、右焦点分别是F1 F2求F1及短轴顶点的坐标. 【变式训练】设椭圆4x2+3y²=1的两个焦点为F1 F₂ 求焦点坐标及离心率。 【例3】根据下列条件,求椭圆的标准方程： （1） 经过点(2，0)，(0，1) （2） 长轴长为 20,离心率为 【变式训练1】 已知椭圆的焦点在x轴上,焦距为2,则k的值等于（ ） A.8 B.10 C. 7 D. 【变式训练 2】 长轴为4,右焦点为(1,0)的椭圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 考点2 椭圆的几何性质 【例4】椭圆的焦点为F1 F2 ,点P在椭圆上,若|PF1|=5,则|PF2|=( ) A.1 B.3 C. D. 【变式训练】设椭圆的两个焦点为F1 F2,点P是椭圆上任意一点,则△PF1F2的周长为 【例5】点P到椭圆上的点的最远距离是 【变式训练】已知椭圆短轴的一个端点到一个焦点的距离为5,到椭圆中心的距离为4,则该椭圆的标准方程是 A. 或 B.或 C.或 D.或 【例 6】(1)若椭圆的离心率，则 (2) 若椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率是 A. B. C. D. 考点3 椭圆性质的综合应用 【例7】设中心在坐标原点的椭圆左,右两个焦点分别为F1 F2过F2的一条直线与该椭圆相交于A,B两点,已知等边△ABF1的边长为4,求该椭圆的标准方程. 【变式训练】 已知椭圆C:(a>b>0)经过点A ,且椭圆C的四个顶点构成的四边形的面积为4,求椭圆C的方程. 【例8】 已知点A(0,2),B(-2,-2). (1)求过A,B两点的直线的方程; (2)已知点A在椭圆C:-(a>b>0)上,且(1)中直线过椭圆C的左焦点,求辅圆C的标准方程. 【变式训练】求焦点在x轴,经过点M(1,2),且与椭圆有相同离心率的椭圆方程. 课堂训练 1.是为椭圆方程”的(