5.2.1 基本初等函数的导数（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【精讲精练】人教A版

　导数的运算 5．2.1　基本初等函数的导数 学业标准 素养目标 1．能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝，y＝的导数(难点)． 2．掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用(重点). 1．通过常用导数的推导的学习，培养数学运算等核心素养． 2．借助基本初等函数的导数的计算，提升数学运算、逻辑推理等核心素养. [教材梳理] 导学　基本初等函数的导数公式 已知函数：(1)y＝f(x)＝c；(2)y＝f(x)＝x；(3)y＝f(x)＝x2；(4)y＝f(x)＝；(5)y＝f(x)＝. 　函数y＝f(x)＝c的导数是什么？ [提示]　∵＝＝＝0， ∴y′＝ ＝0. 　函数(2)(3)(4)(5)的导数分别是什么？ [提示]　由导数的定义得(2)x′＝1，(3)(x2)′＝2x，(4)′＝－，(5)()′＝. 　函数(2)(3)(5)均可表示为y＝xα(α∈Q*)的形式，其导数有何规律？ [提示]　∵(2)x′＝1·x1－1，(3)(x2)′＝2·x2－1， (5)()′＝(x)′＝x－1＝， ∴(xα)′＝αxα－1． ◎结论形成 基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝__0__ f(x)＝xα(α∈R且α≠0) f′(x)＝__αxα－1__ f(x)＝sin x f′(x)＝__cos_x__ f(x)＝cos x f′(x)＝__－sin_x__ f(x)＝ax f′(x)＝__axln_a__(a>0，且a≠1) f(x)＝ex f′(x)＝__ex__ f(x)＝logax f′(x)＝(a>0，且a≠1) f(x)＝ln x f′(x)＝ [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)′＝cos .(　　) (2)因为(ln x)′＝，所以′＝ln x．(　　) (3)若f′(x)＝sin x，则f(x)＝cos x．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)× 2．曲线y＝xn在x＝2处的导数为12，则n等于(　　) A．1　　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 答案　C 3．若函数f(x)＝10x，则f′(1)等于(　　) A． B．10 C．10ln 10 D． 答案　C 4．已知f(x)＝cos x，则f′＝________. 答案　－ 题型一　利用导数公式求函数的导数 　(1)y＝x12；(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝3x；(5)y＝log5x. [解析]　(1)y′＝(x12)′＝12x11； (2)y′＝′＝(x－4)′＝－4x－5＝－； (3)y′＝()′＝′＝x－； (4)y′＝(3x)′＝3xln 3； (5)y′＝(log5x)′＝. [规律方法] 1．若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解． 2．对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误． 3．要特别注意“与ln x”，“ax与logax”，“sin x与cos x”的导数区别． [触类旁通] 1．若f(x)＝x3，g(x)＝log3x, 则f′(x)－g′(x)＝________. 解析　∵f′(x)＝3x2，g′(x)＝， ∴f′(x)－g′(x)＝3x2－. 答案　3x2－ 题型二　求函数在某点处的导数 　质点的运动方程是s＝sin t， (1)求质点在t＝时的速度； (2)求质点运动的加速度． [解析]　(1)v(t)＝s′(t)＝cos t， ∴v＝cos ＝. 即质点在t＝时的速度为. (2)∵v(t)＝cos t， ∴加速度a(t)＝v′(t)＝(cos t)′＝－sin t. [规律方法] 1．速度是路程对时间的导数，加速度是速度对时间的导数． 2．求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是：(1)先求函数的导函数；(2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值． [触类旁通] 2．(1)求函数f(x)＝在点(1,1)处的导数； (2)求函数f(x)＝cos x在点处的导数． 解析　(1)∵f′(x)＝′＝(x－))′＝－x－＝－，∴f′(1)＝－＝－. (2)∵f′(x)＝－sin x， ∴f′＝－sin ＝－. 题型三　利用导数公式求曲线的切线方程(一题多变) 　已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程． [解析]　因为y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)， 又因为直线PQ的斜率为k＝＝1，而切线平行于直线PQ， 所以k＝2x0＝1，即x0＝， 所以切点为M. 所以所求的切线方程为y－＝x－， 即4x－4y－1＝0. [母题变式] (变结论)在本例中是否存在与直线