7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义-2022-2023学年高一数学同步教学课件（人教A版2019必修第二册）

在上一节，我们把实数集扩充到了复数集. 引入新数集后，就要研究其中的数之间的运算. 下面就来讨论复数集中的运算问题. 7.2.1复数的加、减运算及其几何意义 我们规定，复数的加法法则如下： 特别地，当z1，z2都是实数时，把它们看作复数时的和就是这两个实数的和。 设z1=a+bi，z2=c+di（a , b , c , d∈R）是任意两个复数，那么它们的和 (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。 显然，两个复数的和仍然是一个确定的复数. 可以看出，两个复数相加，类似于两个多项式相加。 一、复数的加法 思考？复数的加法满足交换律、结合律吗？ z1+z2= z2+ z1，(交换律) (z1+z2)+ z3=z1+(z2+ z3)(结合律) 容易得到，对任意z1，z2 ，z3∈C，有 探究！我们知道，复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？ 设，分别与复数a+bi，c+di对应，则=(a, b)，=(c, d)。 +=(a+c，b+d)。 由平面向量的坐标运算法则，得 这说明两个向量与的和就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量。 因此，复数的加法可以按照 向量的加法来进行，这就是复数 加法的几何意义。 思考？我们知道, 实数的减法是加法的逆运算。类比实数减法的意义，你认为该如何定义复数的减法？ 的复数x+yi(x , y∈R)叫做复数a+bi(a , b∈R)减去复数c+di(c , d∈R)的差，记作(a+bi)-(c+di)。 我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足 (c+di)+(x+yi)=a+bi 即(a+bi)-( c+di)= (a-c)+(b-d)i。 二、复数的减法 则复数x+yi(x , y∈R)叫做复数a+bi(a , b∈R)减去复数c+di(c , d∈R)的差，记作(a+bi)-(c+di)。 若(c+di)+(x+yi)=a+bi， 根据复数相等的含义，c+x=a , d+y=b， 因此x=a-c , y=b-d， 所以x+yi=(a-c)+(b-d)i 这就是复数的减法法则。 由此可知，两个复数的差是一个确定的复数，两个复数相减，类似于两个多项式相减。 探究！ 类比复数加法的几何意义，你能得出复数减法的几何意义吗？ 在复平面内，设复数 对应的向量分别为 ，， 则这两个复数的差 对应的向量是，即向量. 这说明两个向量 与 的差 就是复数 对应的向量. 因此复数的加法可以按照向量的减法来进行，这就是复数减法的几何意义. 分析：由于复平面内的点Z1(x1, y1), Z2(x2, y2) , 对应的复数分别为； 例2 根据复数及其运算的几何意义，求复平面的两点Z1(x1，y1)，Z2(x2，y2)之间的距离. 由复数减法的几何意义知，复数对应的向量为； 从而Z1，Z2之间的距离为分别为| |. 例1 计算: (5-6i)+(-2-i)-(3+4i) 解： (5-6i)+(-2-i)-(3+4i) =(5-2-3)+(-6-1-4)i=-11i 解：由于复平面内的点Z1(x1, y1), Z2(x2, y2) , 对应的复数分别为； 例2 根据复数及其运算的几何意义，求复平面的两点Z1(x1，y1)，Z2(x2，y2)之间的距离. 所以Z1，Z2之间的距离为分别为 |Z1Z2|=| | =|(x2+y2i)-(x1+y1i)| =|(x2-x1)+ (y2-y1)i| 2.了解复数加、减运算的几何意义， 能利用数形结合的思想解题。 三、归纳小结 1. 能进行复数的代数形式的加、 减法运算。 $