专题2.5 三元一次方程组及其解法-【帮课堂】2022-2023学年七年级数学下册同步精品讲义（浙教版）

专题2.5 三元一次方程组及其解法 1、掌握三元一次方程组的概念及其解法； 2、掌握三元一次方程组在实际问题中的应用； 知识点01 三元一次方程组的概念与解法 【知识点】 概念：含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是一次，叫做三元一次方程组。方程组中，少于3个方程，则无法求所有未知数的解，故一般的三元一次方程是三个方程组成的方程组。 解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，将“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程。 他们主要的解法就是加减消元法和代入消元法，通常采用加减消元法，若方程难解就用代入消元法，因题而异。其思路都是利用消元法逐步消元。 步骤：①利用代入法或加减法，消去一个未知数，得出一个二元一次方程组； ②解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值； ③将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程，求出第三个未知数的值，把这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解。 【典型例题】 例1．（2022·全国·七年级专题练习）已知代数式，当时，其值为4；当时，其值为8；当时，其值为25；则当时，其值为（    ） A．4 B．8 C．62 D．52 【答案】D 【分析】根据已知条件可知，由此解方程组求出a、b、c的值即可得到答案． 【详解】解：由题意得 用①+②得：④， 用①×2+③得：⑤， 用⑤－④得：， 把代入④得：，解得， 把，代入①得：，解得， ∴当时，， 故选D． 【点睛】本题主要考查了代数式求值，解三元一次方程，正确建立三元一次方程组求出a、b、c的值是解题的关键． 例2．（2022春·湖南永州·七年级统考期中）已知方程组，则的值为（    ） A．5 B．10 C．12 D．不确定 【答案】C 【分析】将3x+7y+z=22乘以2减去5x+13y+z=32即可得到解答． 【详解】解：由题意得： 将3x+7y+z=22乘以2得：6x+14y+2z=44， 再将其减去5x+13y+z=32得：x+y+z=12， 故选C． 【点睛】本题考查了解三元一次方程组，能选择适当的方法求解是解决此题的关键． 例3．（2022秋·山东青岛·八年级统考期末）若三元一次方程组的解使，则的值是__________． 【答案】 【分析】先将三元一次方程组解得，代入即可求得的值． 【详解】解：， 得：， 得：，解得， 把代入得，， 把代入得：， 三元一次方程组的解为：， 把代入得，， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解三元一次方程组，学会采用消元法和代入法解三元一次方程组是解题的关键． 例4．（2023春·七年级课时练习）把三元一次方程组化为关于x、y的二元一次方程组_______． 【答案】 【分析】利用加减消元法消掉未知数化成关于x、y的二元一次方程组． 【详解】解：， ①②得：， ②③得：， 方程组为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三元一次方程组、二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法． 例5．（2022春·广东东莞·七年级统考期中）解方程组：． 【答案】 【分析】①②得：④，把③代入④求出x，把代入③求出y，再把，代入①求出z即可． 【详解】解：， ①②得： ④， 把③代入④得： ， 解得：， 把代入③得： ， 把，代入①得： ， 解得：， 原方程组的解为：． 【点睛】此题考查了解三元一次方程组，正确掌握三元一次方程组的解法是解题的关键． 例6．（2022秋·八年级课时练习）探索创新完成下面的探索过程： 给定方程组，如果令=A，=B，=C，则方程组变成______； 解出这个新方程组（要求写出解新方程组的过程），得出A，B，C的值，从而得到：x= ______；y=______；z= ______． 【答案】；解方程组过程见解析；；； 【分析】根据换元法可以将原方程组化为，①+②+③得出然后分别求出A、B、C的值即可． 【详解】解：令=A，=B，=C，则方程组可变为：， ①+②+③得， 得：， 得：， 得：， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查了换元法解方程组，根据题意得出，是解题的关键． 【即学即练】 1．（2023春·七年级课时练习）解三元一次方程组，如果消掉未知数z，则应对方程组变形为（    ） A．① +③ ，① ×2﹣② B．① +③ ，③ ×2+② C．②﹣① ，②﹣③ D．①﹣② ，① ×2﹣③ 【答案】C 【分析】注意到方程组z前面的系数都为1，所以直接相减消去 【详解】得： 得： 方程组变形为，刚好消去z 故选：C 【点睛】本题考查对三元一次方程组的消元，善于观察是解题关键． 2．（2023春·七年级课时练习）已知关于x、y的方程组的解满足2x﹣y＝2k，则k的值为（    ） A．k B．