9.2.4 总体离散程度的估计课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

9.2.4 总体离散程度的估计 盛 琪 第九章 统计 2023/2/15 1 引 入 1. 总体百分位数的估计 一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值． 计算一组n个数据的第p百分位数的步骤 第一步:按从小到大排列原始数据； 第二步:计算i=n×p%； 第三步:若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据； 若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数. LOGO 2 引 入 平均数、中位数和众数为我们提供了一组数据的集中趋势的信息，这是概括一组数据的特征的有效方法，但仅知道集中趋势的信息，很多时候还不能使我们做出有效决策，下面的问题就是一个例子. 2. 总体集中趋势的估计 众 数：最高矩形的中点 中位数：中位数左边的直方图面积和右边的直方图面积相等 平均数：每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和 LOGO 3 引 入 引例 有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次,每次命中的环数如下: 甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 如果你是教练，你如何对两位运动员的射击情况作出评价?如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选择? 甲、乙两名运动员射击成绩的平均数、中位数、众数都是7. 从这个角度看，两名运动员之间没有差别. 问题1 两名运动员射击成绩的平均数、中位数、众数各为多少？ LOGO 4 探究新知 借助条形图可以直观看出，甲的成绩比较分散,乙的成绩相对集中,即甲的成绩波动幅度比较大，而乙的成绩比较稳定.可见，他们的射击成绩是存在差异的. 10 环数 频率 4 5 6 7 8 9 （甲） 10 环数 频率 4 5 6 7 8 9 （乙） 问题2 那么，如何度量成绩的这种差异呢? LOGO 5 探究新知 一种简单的度量数据离散程度的方法就是用极差. 可以发现甲的成绩波动范围比乙的大. 根据甲、乙运动员的10次射击成绩，可以得到 甲命中环数的极差=10-4=6， 乙命中环数的极差=9-5=4. 极差在一定程度上刻画了数据的离散程度.但因为极差只使用了数据中最大、最小两个值的信息,对其他数据的取值情况没有涉及，所以极差所含的信息量很少. 问题3 你还能想出其他刻画数据离散程度的办法吗? LOGO 6 探究新知 若射击的成绩很稳定，那么大多数的射击成绩离平均成绩不会太远； 相反，若射击的成绩波动幅度很大，那么大多数的射击成绩离平均成绩会比较远. 因此，可以通过这两组射击成绩与它们的平均成绩的“平均距离”来度量成绩的波动幅度. 问题4 你还能想出其他刻画数据离散程度的办法吗? 问题5 如何定义“平均距离”? LOGO 7 探究新知 假设一组数据是x1, x2,…, xn，用 表示这组数据的平均数. 我们用每个数据与平均数的差的绝对值作为“距离”,即 作为xi到 的“距离”. 可以得到这组数据x1, x2,…, xn到 的“平均距离”为 . 问题6 如何定义“平均距离”? 问题7 为什么用“平均距离”刻画离散程度，用“总距离”行吗? 为了避免式中含有绝对值，通常改用平方来代替，即 方差 LOGO 8 探究新知 一组数据是x1，x2，…，xn，用 表示这组数据的平均数，这组数据的方差为____________=____________，标准差为_______________. （1）方差、标准差的定义 思考：标准差的取值范围是什么？标准差为0的一组数据有什么特点？ 标准差s≥0； s=0表示这组数据中的每个数据到平均数的距离都是0，这组数据的每个数据是相等的． 在实际问题中，总体平均数和总体标准差都是未知的．就像用样本平均数估计总体平均数一样，通常我们也用样本标准差去估计总体标准．在随机抽样中，样本标准差依赖于样本的选取，具有随机性． LOGO 9 探究新知 （2）总体方差、总体标准差的定义 如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为 ，则称 S2=_______________为总体方差，S=________为总体标准差 ． 如果总体的N个变量值中，不同的值共有k（k≤N）个，不妨记为Y1，