8.3.3球的表面积和体积课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.3.3 球表面积和体积 盛 琪 第八章 立体几何初步 2023/2/15 1 引 入 圆柱 圆锥 圆台 l O O' 2πr r • • h 2πr O S l r • h O' O r' 2πr' r l 2πr • • h LOGO 2 引入 割圆术 早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推导圆的面积公式而发明了“倍边法割圆术”.他用加倍的方式不断增加圆内接正多边形的边数，使其面积与圆的面积之差更小，即所谓“割之弥细，所失弥小”.这样重复下去，就达到了“割之又割，以至于不可再割，则与圆合体而无所失矣”.这是世界上最早的“极限”思想. LOGO 3 探究新知 1. 球的表面积 设球的半径为R，它的表面积只与半径R有关，是以R为自变量的函数.事实上，如果球的半径为R，那么它的表面积是 O 把一个半径为R的球的上半球横向切成n（无穷大）份， 每份等高并且把每份看成一个类似圆柱，球的表面积为所有圆柱的侧面积之和. A O S球 = 4πR2 4倍大圆面积 LOGO 4 探究新知 S球 = 4πR2 把一个半径为R的球的上半球横向切成n(无穷大)份， 每份等高并且把每份看成一个类似圆柱，其中半径等于底面圆半径，则从下到上第k个圆柱的侧面积为 O' O rk • • h • kh LOGO 5 例题讲解 例1 如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是0.3m，圆柱高0.6m．如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5kg涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？(π取3.14) 解:一个浮标的表面积为 2π×0.15×0.6+4π×0.152=0.8478(m2), 所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料 0.8478×0.5×1000=423.9(kg). LOGO 6 类比利用圆周长求圆面积方法, 我们可利用球的表面积求球的体积. 如图, 把球O的表面分成n个小网格, 连接球心O和每个小网格的顶点, 整个球体就被分割成n个“小锥体”. 当n越大，每个小网格越小，每个“小椎体”的底面越平，“小椎体”就越接近似于棱锥，其高越近似于球的半径R. 设O-ABCD是其中一个“小椎体”，那么它的体积就为 探究新知 O A B C D 2. 球的体积 问题1 在小学,我们学习了圆的面积公式,你还记得是如何求得的吗?类比这种方法，你能由球的表面积公式推导出球的体积公式吗? πr r LOGO 7 探究新知 O A B C D 由于球的体积就是这n个“小椎体”的体积之和，而这n个“小椎体”的底面积这个就是球的表面积. 因此，球的体积为 2. 球的体积 LOGO 8 探究新知 公式归纳： 圆柱 圆锥 圆台 • O R 球 l O O' 2πr r • • O' O r' 2πr' r l 2πr • • 2πr O S l r • LOGO 9 例题讲解 例2 如图示，圆柱的底面直径和高都等于球的直径， 求球与圆柱的体积之比. 解：设球的半径为R，则圆柱的底面半径也为R，高为2R. 即球与圆柱的体积之比为2:3. 问题2 球的表面积与圆柱的侧面积之比呢？与圆柱的表面积呢？ S球 = 4πR2 S圆柱 = 2πR×2R=4πR2 球的体积是圆柱体积的 2/3   ， 球的表面积也是圆柱全面积的2/3 . 这是我生平最得意的 定理 圆柱容球 LOGO 10 课堂练习 2. 当一个球的半径满足什么条件时，其体积和表面积的数值相等？ 解： 由S球= V球，得 ∴当一个球的半径等于3时，其体积和表面积的数值相等. 解得R=3 LOGO 11 探究新知 3. 球的截面及其性质 问题3 一条直线与圆相交，在圆内的部分是什么图形？ 问题4 把直线换成平面，圆换成球，即用一个平面去截球，截面会是什么形状? 提示：弦（线段）. 提示：圆面. 1.大圆：球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆.如⊙O(浅蓝色圆面）. 2.小圆：球面被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆.如⊙O′(黄色圆面）. .O .O′ LOGO 12 O1 探究新知 性质2: 球心和截面圆心的连线垂直于截面． 性质1: 用一个平面去截球，截面是圆面； 性质3: 球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有下面的关系: 3. 球的截面及其性质 垂径定理的拓展 LOGO 13 O1 课堂练习 2.已知过球面上三点A，B，C的截面和球心的距离为球半径的一半，且AB=BC=CA=2，求球的表面积 1.用与球心距离为1的平面去截球所得的截面面积为π，则球的表面积为(　　) C O′ O A B C LOGO 14 探究新知 4. 球的切线 直线与球相切：当直线与球有唯一交点时，称直线与球相切，其中它们的交点称为直线