8.3.3球与多面体的内切、外接课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

球的内切、外接问题 高一数学组 第八章 立体几何初步 2023/2/15 1 引 入 公式归纳： 圆柱 圆锥 圆台 • O R 球 l O O' 2πr r • • O' O r' 2πr' r l 2πr • • 2πr O S l r • LOGO 2 探究新知 5. 球与多面体的内切、外接 类型：内切球、棱切球、外接球 内切球：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，称这个球是这个多面体的内切球，这个多面体是这个球的外切多面体. 棱切球：若一个多面体的各棱都与一个球的球面相切，称这个球是这个多面体的棱切球. 外接球：一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，称这个球是这个多面体的外接球，这个多面体是这个球的内接多面体. 多面体在球体内 多面体在球体外 LOGO 3 探究新知 （1）正方体 切点：各个面的中心. 球心：正方体的中心. 直径：相对两个面中心连线. 直径等于正方体的棱长. ①内切球 • O O • ②棱切球 O • • O 切点：各棱的中点. 球心：正方体的中心. 直径： “对棱”中点连线 直径等于正方体一个面的对角线长. ③外接球 O A B C D O • A B C D 直径等于正方体的体对角线长. a是正方体棱长 球心：正方体的中心. 直径： 体对角线 LOGO 4 例题讲解 • O O • A 解： 作出截面图如图示. 由图可知，球的直径等于正方体的棱长，即 2R = 2，∴R = 1. ∴ 球的体积为 3. 将一个棱长为6cm的正方体铁块磨制成一个球零件，求可能制作的最大零件的体积. 2R=6，即R=3. 教材119页 LOGO 5 例题讲解 4. 一个长、宽、高分别为80cm，60cm，55cm的水槽中装有200000 cm3的水，现放入一个直径为50cm的木球. 如果木球的三分之二在水中，三分之一在水上，那么水是否会从水槽中溢出. 解： 由题意知 ∴水槽在水面以上的体积为 又木球浸在水中的体积为 ∴水不会从水槽中溢出. 6.甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱，丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为( ) A. 1:2:3 B. C. D. A 5.一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为 . LOGO 6 探究新知 （2）长方体 ①内切球 一个球在长方体内部，最多可以和该长方体的5个面相切. 如果一个长方体有内切球，那么它一定是 正方体 例如，装乒乓球的盒子 问题6 一般的长方体有内切球吗？ 没有. LOGO 7 例题讲解 （2）长方体 O • A B C D O A B C D 解： 作出截面图如图示. 由图可知，球的直径等于正方体的体对角线长，即 ∴ 球的表面积为 14π ②外接球 结论：长方体外接球的直径等于长方体的体对角线. R= l = √a2+b2+c2 (a,b,c是长方体的棱长) LOGO 8 例题讲解 变式 长方体的共顶点的三个侧面积分别为 ，则它的外接球的表面积为__________. 解： 设长方体共顶点的三条棱长分别为a，b，c，则 O a b c ab= bc= ac= a= ∴ b= 1 c= ∴4R2=a2+b2+c2=9 ∴S球=4πR2=9π LOGO 9 探究新知 ①内切球 （3）圆柱、直棱柱 若球与直三棱柱三个侧面相切，可由平行于底面截面图，求出球的半径. 若球与直三棱柱各个面相切，则球的直径为棱柱高. LOGO 10 例题讲解 （3）圆柱、直棱柱 • O • O2 C B A a • O1 B AO2= ∴R2=AO2=AO22+OO22= OO2= ∴S球=4πR2= ②外接球 LOGO 11 探究新知 直棱柱外接球半径求法 3、 1、球心是上、下底面外接圆圆心所连线段的中点； 2、球心到底面的距离是侧棱长的一半 r o1 o o2 ● R LOGO 12 课堂练习 r o1 o o2 ● R 5πa2 LOGO 13 课堂练习 设正三棱柱的底面边长为a，则球的半径 √ LOGO 14 设球的半径为r，底面中心为D,取BC边中点E 例题讲解 （4）正棱锥、圆锥 ①内切球 例6 正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与它的四个面都相切，求内切球的表面积与体积． A B C D P O E 解1：如图，P-ABC为正三棱锥, 以球心O为顶点，棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥 PE为斜高, ∴PD=2,易知 ， ∴ S球=4πr2= V球=