7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

请同学们准备好 课本、笔记、作业本 LOGO 1 上 课 了 ！ 上 课 了 ！ LOGO 2 7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 高一数学组 第七章 复数 2023/2/15 3 引 入 问题1 我们知道，复数可以进行加、减、乘、除运算，复数代数形式加法和乘法运算的法则分别是什么？ =(ac－bd) + (bc+ad) i 类似多项式展开 把i2换成－1，合并实部与虚部 分子分母同乘以分母的共轭复数， 从而使分母“实数化” 分子，分母运用乘法进行化简 化为复数的代数形式 (a + bi) (c + di )=ac + bci+adi+ bdi2 LOGO 4 引 入 复数的几何意义 复数z＝a＋bi(a,b∈R) 复平面内的点Z(a,b) 一一对应 一一对应 一一对应 平面向量 r(cosθ +i sinθ) 复数的三角表示式 a b z=a＋bi r θ 一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成 r(cosθ +i sinθ) 的形式． r 是复数z的模； θ 是复数z＝a＋bi的辐角； 辐角 模 结构特征： 模非负，角相同，余在前，加号连 在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值．通常记作arg z． LOGO 5 问题2 如果把复数z1，z2分别写成三角形式 你能计算 并将结果表示成三角形式吗？ 探究新知 这就是说，两个复数相乘,积的模等于各复数的模的积, 积的辐角等于各复数的辐角的和. 即 1. 复数乘法运算的①三角表示 模相乘，辐角相加 LOGO 6 探究新知 问题3 我们知道复数的加、减运算具有几何意义，那么复数乘法有没有几何意义呢？由复数乘法运算的三角表示，你能得到复数乘法的几何意义吗？ 两个复数z1，z2相乘时，如图，先分别画出与z1，z2 对应的向量OZ1，OZ2， 然后把向量OZ1绕点O按逆时针方向旋转角θ2（如果θ2<0，就要把OZ1绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|）， 再把它的模变为原来的r2倍，得到向量OZ， OZ表示的复数就是积z1z2．这是复数乘法的几何意义． ②复数乘法运算的几何意义 旋转运算 LOGO 7 探究新知 问题4 你能解释i2和(－1)2=1的几何意义吗？ LOGO 8 例题讲解 首先做与复数z1对应的向量OZ1，然后把向量OZ1绕 点O按逆时针方向旋转角 ，再把它的模变为原来的2倍，这样得到一个长度为3，辐角为 的向量OZ． OZ即为z1z2=3i所对应的向量． 例3 已知 ， ，求 z1z2，请把结果化为代数形式，并做出几何解释. 解： LOGO 9 例题讲解 例4 如图，向量OZ 对应的复数为 ，把向量OZ绕点O按逆时针方向旋转120°，得到OZ′，求向量OZ′对应的复数（代数形式表示）． LOGO 10 例题讲解 解： 例5 计算： 教科书第91页： 棣莫佛定理： dì LOGO 11 探究新知 问题5 复数除法运算是乘法运算的逆运算.根据复数乘法运算的三角表示，你能得出复数除法运算的三角表示吗？ 这就是说，两个复数相除,商的模等于被除数模除以除数的模所得的商, 商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. 2. 复数除法运算：①三角表示 模相除，辐角相减 LOGO 12 探究新知 追问 你还有其他的推导方法吗？ LOGO 13 探究新知 问题6 类比复数乘法的几何意义，由复数除法运算的三角表示，你能得出复数除法的几何意义吗？ ②复数乘法运算的几何意义 旋转运算 LOGO 14 课堂练习 3.在复平面内，把与复数3-i对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转60°，求与所得的向量对应的复数（代数形式表示）． 教科书第89页练习3 LOGO 15 例题讲解 例5 计算 并把结果化为代数形式． LOGO 16 课堂练习 教科书第89页练习1、2 1.计算 : LOGO 17 课堂练习 教科书第89页练习1、2 2.计算 : LOGO 18 课堂小结