6.2.3向量的数乘运算（1）课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.2.3 向量的数乘运算（1） 盛 琪 第六章 平面向量及其应用 2023/2/15 1 引 入 特点: 共起点，连终点，指向被减 1. 向量加法三角形法则: 特点: 首尾连，连首尾 特点: 同起点，连对角 2. 向量加法平行四边形法则: 3.向量减法三角形法则: A O B LOGO 2 探究新知 我们知道数是可以做乘法的，平面向量既有大小，又有方向，平面向量可以做乘法吗？它和实数可以做乘法吗？ 问题1已知非零向量 ，作出 和 . 它们的长度和方向分别是怎样的? P O C A B Q M N 上述这种实数与向量的乘法运算称为向量的数乘. LOGO 3 探究新知 1.向量的数乘 一般地，我们规定实数λ与向量 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 ．它的长度和方向规定如下： (2)当λ>0时， 的方向与 方向相同； 特别地，当λ=0或 时， ． 当λ<0时， 的方向与 方向相反. ①定义： 问题2反之，若 ，则 λ=0，对吗？ 当λ=0时， ． ? 你对零向量、相反向量有什么新的认识？ 当λ＝－1时，(－1) ＝－ . LOGO 4 探究新知 ①向量数乘结果仍然是向量，其长度、方向都与λ以及 有关； ②实数和向量可以相乘，但不能相加减， ， 无意义； ③和向量 方向相同的单位向量是什么？ 注： 问题3如果把非零向量a 的长度伸长到原来的3.5倍，方向不变得到向量b， 向量b 该如何表示？向量a、b之间的关系怎样？ b=3.5a ; b与a 的方向相同， b的长度是a 的长度的3.5倍. ②几何意义：将 的长度扩大（或缩小）|λ|倍，改变（不改变） 的方向. LOGO 5 课堂练习 1. 任画一向量 ，分别求作向量 . A C B 2. 点C在线段AB上，且 ，则 C A B 作法： M P N LOGO 6 探究新知 2.向量数乘的运算律 设 为任意向量，λ, μ为任意实数，则有： 结合律 第一分配律 第二分配律 特别地，有 3.向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量 ，以及任意实数 ，恒有 LOGO 7 例题讲解 例1 计算： 解: 注意：向量与实数之间可以象多项式一样进行运算. 题型一、向量的线性运算 LOGO 8 例题讲解 LOGO 9 课堂练习 LOGO 10 课堂练习 3.若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝________. 4b－3a LOGO 11 例题讲解 题型二、用已知向量表示其他向量 例2 A D C B M LOGO 12 例题讲解 √ LOGO 13 探究新知 LOGO 14 课堂练习 LOGO 15 课堂练习 √ LOGO 16 课堂小结 向量的数乘 定义 长度和方向 几何意义 向量数乘运算的运算律 λ(μa)=(λμ)a λ(a+b)=λa+λb LOGO 17 课堂小结 LOGO 18 布置作业 （1）教材 （2）同步作业 LOGO 19 THANKS 20 向量的线性运算的基本方法 (1)类比方法：向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”均指向量，实数看作是向量的系数． (2)方程方法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．　 ①4(a＋b)－3(a－b)－8a； ②(5a－4b＋c)－2(3a－2b＋c)； ③eq \f(2,3) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（4a－3b）＋\f(1,3)b－\f(1,4)（6a－7b）)). 2.设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)a－b))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(2,3)b))＋(2b－a)． ①－7a＋7b ②－a－c ③eq \f(5,3)a－eq \f(11,18)b (2)－eq \f(5,3)i－5j 例3如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，若＝