专题05 正、余弦定理及其应用-2022-2023学年高一数学新教材同步提升之重点题型与难点突破（人教A版2019必修第二册）

专题05正、余弦定理及其应用 题型归类 题型一：已知两边及一角解三角形 （余弦定理） 单选1★★+2★★★+多选3★★填空4★★填空5★★+方法技巧 题型二：已知三边解三角形（余弦定理） 单选1★★+2★★★+多选3★★填空4★★解答5★★+方法技巧 题型三：判断三角形形状（余弦定理） 单选1★★+2★★★+多选3★★填空4★★解答5★★+方法技巧 题型四：已知三角形的两角和一边解三角形（正弦定理） 单选1★★+2★★★+多选3★★填空4★★解答5★★+方法技巧 题型五：已知三角形的两边和一边的对角解三角形（正弦定理） 单选1★★+2★★★+多选3★★填空4★★解答5★★+方法技巧 题型六：正、余弦定理的综合应用 单选1★★+2★★★+多选3★★填空4★★解答5★★+方法技巧 题型七：距离问题 单选1★★+2★★★+多选3★★填空4★★解答5★★+方法技巧 题型八：高度问题 单选1★★+2★★★+多选3★★填空4★★解答5★★+方法技巧 题型九：角度问题 单选1★★+2★★★+填空3★★解答4★★+方法技巧 难点突破 突破点一：与余弦定理有关的范围问题 突破点二：三角形最大角与最大边 突破点三：应用求最值问题 突破点四：解三角形与三角函数综合运用求范围 突破点五：自选条件综合应用 突破点六：三角形的面积问题 一、题型归类 【题型一】已知两边及一角解三角形 1★★（单选）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cos(A＋B)＝，则c＝(　　) A．4 B． C．3 D． 【解析】cosC＝－cos(A＋B)＝－。又由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝9＋4－2×3×2×＝17，所以c＝. 故选D. 2★★★（单选）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝3，c＝4，则实数a的取值范围是(　　) A．(1，7) B．(1，5) C．(，5) D．(，5) 【解析】∵b＝3，c＝4，且△ABC是锐角三角形， ∴cos A＝>0， 且cos C＝>0，∴7<a2<25， ∴<a<5. 故选C． 3★★（多选）在△ABC中，a＝1，b＝2，cos C＝，则(　　) A．c＝1 B．c＝2 C．sin A＝ D．sin A＝ 【解析】根据余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝12＋22－2×1×2×＝4，解得c＝2. 由a＝1，b＝2，c＝2，得cos A＝＝， 所以sin A＝＝. 故选BD． 4★★（填空）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝60 cm，c＝60 cm，A＝，则a＝________ cm 【解析】由余弦定理得： a＝ ＝＝60(cm). 5★★（解答）如图所示，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，求BD的长． 【解析】∵sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD)＝cos∠BAD＝， ∴在△ABD中， 有BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD ＝18＋9－2×3×3×＝3， ∴BD＝. 【方法技巧】 已知两边及一角解三角形的两种情况 (1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解。 (2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其它角 【题型二】已知三边解三角形 1★★（单选）若△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，6a＝4b＝3c，则cos B＝(　　) A. B. C. D. 【解析】由6a＝4b＝3c，得c＝2a，b＝a， ∴cos B＝＝＝. 故选D. 2★★★（单选）若△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，CA＝6，则·的值为(　　) A.19 B.14 C.－18 D.－19 【解析】设三角形的三边BC，AC，AB分别为a，b，c， 依题意得，a＝5，b＝6，c＝7， ∴·＝||·||·cos(π－B) ＝－ac·cos B. 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cos B， ∴－ac·cos B＝(b2－a2－c2) ＝(62－52－72)＝－19， ∴·＝－19. 故选D. 3★★（多选）在△ABC中，已知A＝30°，且3a＝b＝12，则c的值可以为(　　) A.2 B.4 C.6 D.8 【解析】由3a＝b＝12，得a＝4，