5.1.2 导数的概念及几何意义 习题课讲义+课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第五章　一元函数的导数及其应用 导数的概念及几何意义习题课 【例1】求函数y＝x－eq \f(1,x)在x＝1处的导数. 【解析】因为Δy＝(1＋Δx)－eq \f(1,1＋Δx)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,1)))＝Δx＋eq \f(Δx,1＋Δx)， 所以eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(Δx＋\f(Δx,1＋Δx),Δx)＝1＋eq \f(1,1＋Δx). eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0)) eq \o(lim,,\s\do6(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \o(lim,,\s\do6(Δx→0)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,1＋Δx)))＝2， 所以f′(1)＝2， 即函数y＝x－eq \f(1,x)在x＝1处的导数为2. 　 答案与解析 【例2】(多选)设f(x)在x0处可导，下列式子中与f′(x0)相等的是(　　) A.eq \o(lim,,\s\do6(Δx→0)) eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0)) eq \f(f（x0）－f（x0－2Δx）,2Δx) B.eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0)) eq \o(lim,,\s\do6(Δx→0)) eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0－Δx）,Δx) C.eq \o(lim,,\s\do6(Δx→0)) eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0)) eq \f(f（x0＋2Δx）－f（x0＋Δx）,Δx) D.eq \o(lim,,\s\do6(Δx→0)) eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0)) eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0－2Δx）,Δx) 【解析】对于A, eq \o(lim,,\s\do6(Δx→0)) eq \f(f（x0）－f（x0－2Δx）,2Δx) =eq \o(lim,,\s\do6(2Δx→0)) eq^\o(lim,\s\do4(2Δx→0)) eq \f(f（x0－2Δx＋2Δx）－f（x0－2Δx）,2Δx)＝f′(x0)，A满足； 对于B，eq \o(lim,,\s\do6(Δx→0)) eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0)) eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0－Δx）,Δx)＝2eq^\o(lim,\s\do4(2Δx→0)) eq \o(lim,,\s\do6(2Δx→0)) eq \f(f（x0－Δx＋2Δx）－f（x0－Δx）,2Δx) ＝2f′(x0)，B不满足； 对于C,eq \o(lim,,\s\do6(Δx→0)) eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0)) eq \f(f（x0＋2Δx）－f（x0＋Δx）,Δx)＝f′(x0)，C满足； 对于D, eq \o(lim,,\s\do6(Δx→0)) eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0－2Δx）,Δx) ＝3eq \o(lim,,\s\do6(3Δx→0)) eq^\o(lim,\s\do4(3Δx→0)) eq \f(f（x0－2Δx＋3Δx）－f（x0－2Δx）,3Δx)＝3f′(x0)，D不满足. 　 答案与解析 【例3】(多选)已知函数y＝f(x)，下列说法正确的是(　　) A.Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)叫作函数值的增量 B.eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)叫作函数在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率 C.f(x)在x＝x0处的导数记为y′ D.f(x)在x＝x0处的导数记为f′(x0) 【解析】A中，Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)叫作函数值的改变量，即函数值的增量，A正确； B中，eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)称为函数f(x)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率，B正确； 由导数的定义知函数f(x)在x＝x0处的导数记为f′(x0)，故C错误，D正确.故选ABD. 　 答案与解析 【例4】已知函数f(x)和g(x)在区间[a，b]上的图象如图所示，则下列说法正确的是(　　) A.f(x)在a到b之间的平均变化率大于g(x)在a到b之间的平均变化率 B.f(x)在a到b之间的平均变化率小于g(x)在a到b之间的平均变化率 C.对于任意x0∈(a，b)，函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率总大于函数g(x)在x＝x0处的瞬时变化率 D.存在x0∈(a，b)，使得函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率小于函数g(x)在x＝x0处的瞬时变化率 【解析】∵f(x)在a到b之间的平均变化率是eq \f(f（b）－f（a）,b－a)，g(x)