湖南省部分学校2023届高三下学期2月联考数学试题

湖南2023年高三2月联考 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则（ ） A B. C. D. 3. 已知函数，则“”是“的最小正周期为2”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 在正方体中，，分别为，的中点，则（ ） A. 平面 B. 平面 C. 平面 D. 平面 5. 公差不为0的等差数列的前项和为，且，若，，，，依次成等比数列，则（ ） A. 81 B. 63 C. 41 D. 32 6. 已知，分别为椭圆的两个焦点，为椭圆上的一点，则内切圆半径的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知单位向量，，若对任意实数，恒成立，则向量，的夹角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 从商业化书店到公益性城市书房，再到“会呼吸的文化森林”——图书馆，建设高水平、现代化、开放式的图书馆一直以来是大众的共同心声.现有一块不规则的地，其平面图形如图1所示，（百米），建立如图2所示的平面直角坐标系，将曲线看成函数图象的一部分，为一次函数图象的一部分，若在此地块上建立一座图书馆，平面图为直角梯形（如图2），则图书馆占地面积（万平方米）的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 将，，，这4张卡片分给甲、乙、丙、丁4人，每人分得一张卡片，则（ ） A. “甲得到卡片”与“乙得到卡片”为对立事件 B. “甲得到卡片”与“乙得到卡片”为互斥但不对立事件 C. 甲得到卡片的概率为 D. 甲、乙2人中有人得到卡片的概率为 10. 已知 与圆没有公共点，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 1 11. 已知函数，的零点分别为，，则（ ） A. B. C. D. 12. 已知是抛物线的焦点，点在抛物线上，过点的两条互相垂直的直线，分别与抛物线交于，和，，过点分别作，的垂线，垂足分别为，，则（ ） A. 四边形面积的最大值为2 B. 四边形周长的最大值为 C. 为定值 D. 四边形面积的最小值为8 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 展开式中，项的系数为_________． 14. 若锐角、满足，，则_________． 15. 已知是定义在上的增函数，且的图象关于点对称，则关于的不等式的解集为_________． 16. 某儿童玩具的实物图如图1所示，从中抽象出的几何模型如图2所示，由，，，四条等长的线段组成，其结构特点是能使它任意抛至水平面后，总有一条线段所在的直线竖直向上，则___________. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知正项数列的前项和为，且． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 18. 在锐角中，内角所对的边分别为，，． （1）若，证明：； （2）若，求最小值． 19. 如图，正三棱锥的侧面是直角三角形，过点作平面，垂足为，过点作平面，垂足为，连接并延长交于点． （1）证明：是的中点； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 20. 在数学探究实验课上,小明设计了如下实验:在一个盒子中装有蓝球、红球、黑球等多种不同颜色的小球,一共有偶数个小球,现在从盒子中一次摸一个球,不放回． （1）若盒子中有6个球,从中任意摸两次,摸出的两个球中恰好有一个红球的概率为． ①求红球的个数; ②从盒子中任意摸两次球,记摸出的红球个数为,求随机变量的分布列和数学期望． （2）已知盒子中有一半是红球,若“从盒子中任意摸两次球,至少有一个红球”概率不大于,求盒子中球的总个数的最小值． 21. 已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线的右支相交于，两点，点关于轴对称的点为.当时，. （1）求双曲线方程； （2）若的外心为，求的取值范围. 22. 已知函数，，． （1）若直线是曲线与曲线的公切线，求的解析式； （2）若对恒成立，试问直线是否经过点？请说明理由． 湖南2023年高三2月联考 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】A 【5