6.3.1 平面向量基本定理-2022-2023学年高一数学同步教学课件（人教A版2019必修第二册）

6.3.1平面向量基本定理 当 时， 与 同向， 且 ; 当 时， 与 反向， 且 ; 当 时， ，且 。 一、复习回顾: ⑴向量共线充要条件 ⑵向量的加法： O B C A 平行四边形法则 O A B 三角形法则 上节我们学习了向量的运算，知道位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示. 类似地，平面内任一向量是否可以由同一平面内的两个不共线向量表示呢？ 我们知道，已知两个力，可以求出它们的合力；反过来，一个力可以分解为两个力. 我们可以根据解决实际问题的需要，通过作平行四边形, 将力分解为多组大小、方向不同的分力. 探究：设， 是同一平面内两个不共线的向量， 是这一平面内与， 都不共线的向量. 由力的分解得到启发，我们可以通过作平行四边形，将向量分解为两个向量，使向量是这两个向量的和呢？ O C A B M N 如图，在平面内任取一点O，作， = ， = . 将按， 的方向分解，你有什么发现？ O C A B M N =λ1+0 =0 +λ2 当是与或共线的非零向量时， 也可以表示成λ1+λ2的形式吗？ 当是零向量时， 可以表示成λ1+λ2的形式: O C A B M N 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 表示形式是唯一的，理由如下： 得（λ1－μ1） +（λ2－μ2） = ． 则λ1－μ1，λ2－μ2全为0， 即λ1=μ1，λ2=μ2． 探究！ 平面内任何一个向量都可以表示成λ1+λ2的形式，这种表示形式是唯一的吗？ 由此可得， 共线， 与已知， 不共线矛盾． 若=μ1+μ2，则 λ1+λ2= μ1+μ2． 假设λ1－μ1，λ2－μ2不全为0， 不妨假设λ1－μ1≠0，则 所以，=λ1+λ2，这种表示形式是唯一的！ 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 二、平面向量基本定理 对基本定理的理解 (1)实数对λ1、 λ２的存在性和唯一性； (2)基底的不唯一性； (3)任意向量可以由基底生成。 B O A P 解： 例2　如图，CD是△ABC的中线，且CD＝AB，用向量方法证明△ABC是直角三角形． 分析：由平面向量基本定理可知，任一向量都 可由同一个基底表示． C A D B 可选{， }为基底，表示 ， ． 证明∙ =0， 可得⊥ 从而证得△ABC是直角三角形． 证明：如图，设＝ ， ＝ ， 则＝ ＋， 因为CD＝ AB， 因此CA⊥CB．结论成立． 例2　如图，CD是△ABC的中线，且CD＝AB，用向量方法证明△ABC是直角三角形． C A D B ＝ －． 所以CD＝DA． 因为2＝CD2， 2＝DA2， 四、归纳小结: B O A P 谢谢! $