6.2.4 向量的数量积-2022-2023学年高一数学同步教学课件（人教A版2019必修第二册）

20:37 1 6.2.4 向量的数量积 一、向量的夹角 与 反向 O A B B 与 垂直， O A B 注意:在两向量的夹角定义中,两向量必须是共起点的． 与 同向 O A B 二、问题探究: 我们学习了平面向量的加法、减法和数乘三种运算,那么向量与向量能否“相乘”呢？              O A 功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定. 能否把功看成是这两个向量的一种运算结果呢？ 我们将功的运算类比到两个向量的一种运算，得到向量“数量积”的概念。 规定：零向量与任意向量的数量积为0． 三、平面向量数量积的定义: 注意： (1) 两个向量的数量积是一个实数，不是向量． (2)两个向量的数量积称为内积，写成： (3) 向量的数量积和实数与向量的积(数乘)不是 一回事． 6 设， 是两个非零向量， ＝ ， ＝ ，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到 我们可以在平面内任取一点O，作 = , = . 过点M作直线ON的垂线，垂足为M1， 我们称这种变换为向量 向向量 投影, 叫做向量 在向量 上的投影向量． 则1就是向量在向量上的投影向量. 显然，与共线，于是 探究：如图，设与方向相同的单位向量为, 与的夹角为θ，那么与， , θ 之间有怎样的关系？ = O N M O N M 当θ为直角时， 当θ为锐角时， 当θ为钝角时， M O N 8 O N M O N M 当θ=0时， 当θ=π时， 综上可知，对任意的θ∈[0, π], 都有 探究：从上面的探究我们看到，两个非零向量 与 相互平行或垂直时，向量在上的投影向量具有特殊性. 这时，他们的数量积又有怎样的特殊性呢？ 思考？向量的数量积是一个数量，那么它何 时为正，何时为负，何时为零？ 四、向量数量积的性质 当且仅当两向量共线时等号成立 设， 非零向量，它们的夹角是θ， 是与方向相同的单位向量，则 运算律和运算紧密相连，引进向量数量积后，自然要看一看它满足怎样的运算律。你能推导向量数量积的下列运算律吗？ 五、向量数量积的运算律 数量积不满足结合律 注意: 数量积不满足消去率 解：由题意可知 六、归纳小结 1、平面向量数量积的定义: 2、向量在方向上的投影向量 3、向量数量积的性质 4、向量数量积的运算律 O N M 谢谢！ $