7.4 二项式定理-2022-2023学年高二数学新教材同步题型+能力+素养练（苏教版2019选择性必修第二册）

§7.4 二项式定理 一维练基础 题型一：二项展开式 1．若的展开式有9项，则自然数的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【点拨】根据二项式展开式的项数即可得解. 【详解】解：因为的展开式共有项，所以，所以，故选：B． 2．若的展开式共有12项，则（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】A 【点拨】根据二项式定理可知，求出答案. 【详解】由二项式定理知展开式共有项，所以，即． 故选：A． 3．已知，则可化简为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【点拨】根据二项式定理的逆用直接化简即可. 【详解】, 故选：A. 4．展开式中的第三项为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【点拨】根据展开式通项公式写出第三项即可. 【详解】由题设，展开式通项为， 第三项有，则. 故选：D 5．在的展开式中，第项为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【点拨】利用二项展开式通项可求得结果. 【详解】展开式第项为.故选：B. 题型二：二项式系数及其应用 1．已知的展开式中第项和第项的二项式系数相等，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【点拨】根据二项式系数的对称性可求得的值. 【详解】由已知可得，所以，. 故选：A. 2．求的展开式的第4项的二项式系数（    ） A． B． C．15 D．20 【答案】D 【点拨】根据二项展开式的通项，结合二项式系数的性质，即可求解. 【详解】由二项展开式的二项式系数的性质， 可得二项式的展开式的第4项的二项式系数. 故选：D. 3．在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【点拨】当n为偶数时，展开式中第项二项式系数最大，当n为奇数时，展开式中第和项二项式系数最大. 【详解】因为只有一项二项式系数最大，所以n为偶数，故，得. 故选：B 4．已知二项式展开式的二项式系数和为64，则展开式中常数项为（    ） A． B． C．15 D．20 【答案】B 【点拨】首先利用求出，然后再利用二项式展开式的通项即可求解. 【详解】根据题意可得，解得， 则展开式的通项为， 令，得， 所以常数项为：. 故选：B. 5．已知，则（    ） A．31 B．32 C．15 D．16 【答案】A 【点拨】根据二项式定理的逆用即可得到，进而可求n=5，根据二项式系数即可求解. 【详解】逆用二项式定理得，即，所以n=5，所以． 故选:A 题型三：二项展开式各项系数的和 1．在的展开式中，各项系数的和为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【点拨】直接令，即可求得各项系数的和. 【详解】令，可得各项系数的和为. 故选：B. 2．若，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【点拨】令，再求的值得解. 【详解】令， ． 故选：D 3．，且 ，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【点拨】利用赋值法求得正确答案. 【详解】令，得. ∴，∴. 故选：B 4．若,则的值为(　　) A．2 B．0 C．-1 D．-2 【答案】C 【点拨】利用赋值法，令、，分别得出和，进而得出结果. 【详解】当时，左边，右边，∴. 当时，左边，右边， ∴. 即. 故选：C. 5．已知，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【点拨】根据给定条件，利用赋值法计算作答. 【详解】依题意，当时，. 故选：B 题型四：二项式系数的性质及应用 1．已知，且恰能被14整除，则m的取值可以是（    ） A．1 B．12 C．7 D．27 【答案】D 【点拨】根据二项式展开式，即可求解. 【详解】，故若恰能被14整除，只需要能14整除即可，所以m的取值可以是：-1，13，27等 故选：D 2．关于的展开式，下列结论不正确的是（       ） A．所有项的二项式系数和为64 B．所有项的系数和为0 C．常数项为 D．系数最大的项为第3项 【答案】D 【点拨】原二项式可化为，再根据二项式展开式的性质求解即可. 【详解】解：，可得二项式系数和为，故A正确； 令得所有项的系数和为0，故B正确； 常数项，故C正确； ，系数为，最大为或，为第3项或第5项，故D错误. 故选：D. 3．在的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的系数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【点拨】根据二项式定理，展开项系数中，当n为奇数时最中间的那一项最大. 【详解】依题意，第五项二项式系数最大，一共是9项，所以n=8， 二项式展开项的通项公式为： ， ， ∴ 的系数为 故选：C. 4．二项式的展开式中，各项二项式系数的和是（    ） A．2