专题04 平面向量数乘与数量积的坐标表示-2022-2023学年高一数学新教材同步提升之重点题型与难点突破（人教A版2019必修第二册）

专题04平面向量数乘与数量积的坐标表示 题型归类 题型一：向量共线的判定 单选1★★+2★★★+多选3★★填空4★★解答5★★+方法技巧 题型二：三点共线问题 单选1★★+2★★★+填空3★★解答4★★+方法技巧 题型三：向量共线在几何中的应用 单选1★★+2★★★+多选3★★填空4★★解答5★★ 题型四：向量数量积的坐标运算 单选1★★+2★★★+多选3★★填空4★★★解答5★★+方法技巧 题型五：平面向量的模的问题 单选1★★+2★★★+多选3★★填空4★★解答5★★+方法技巧 题型六：向量的夹角问题 单选1★★+2★★★+多选3★★填空4★★解答5★★+方法技巧 题型七：平面向量的垂直和平行问题 单选1★★+2★★★+多选3★★填空4★★解答5★★+方法技巧 难点突破 突破点一：与三角函数的综合问题 突破点二：数学文化背景问题 突破点三：与集合综合问题 突破点四：分类讨论思想 突破点五：向量法解代数最值问题 突破点六：新背景新定义坐标问题 突破点七：向量与基本不等式综合问题 一、题型归类 【题型一】向量共线的判定 1★★（单选）下列各组向量中，共线的是(　　) A．a＝(－2,3)，b＝(4,6) B．a＝(2,3)，b＝(3,2) C．a＝(1，－2)，b＝(7,14) D．a＝(－3,2)，b＝(6，－4) 【解析】A中，(－2)×6－3×4＝－24≠0，所以a与b不平行；B中，2×2－3×3＝4－9＝－5≠0，所以a与b不平行；C中，1×14－(－2)×7＝28≠0，所以a与b不平行；D中，(－3)×(－4)－2×6＝12－12＝0，所以a∥b. 故选D. 2★★★（单选）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是(　　) A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2) B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7) C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10) D．e1＝(8，－2)，e2＝ 【解析】A中向量e1为零向量，所以e1∥e2；C中e1＝e2，所以e1∥e2，D中e1＝4e2，所以e1∥e2. 故选B. 3★★（多选）已知向量a＝(x，3)，b＝(－3，x)，则下列叙述中不正确的是(　　) A.存在实数x，使a∥b B.存在实数x，使(a＋b)∥a C.存在实数x，m，使(ma＋b)∥a D.存在实数x，m，使(ma＋b)∥b 【解析】只有D正确，可令m＝0，则ma＋b＝b，无论x为何值，都有b∥b. A，B，C选项可根据两向量共线的充要条件验证均不正确. 故选ABC. 4★★（填空）已知向量a＝(2，－1)，b＝(x－1,2)，若a∥b，则实数x的值为 【解析】因为a∥b，所以2×2－(－1)×(x－1)＝0，得x＝－3. 5★★（解答）已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？ 【解析】ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)， 因为ka＋b与a－3b平行，所以(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，解得k＝－。 此时ka＋b＝ ＝－(a－3b)， 所以当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，并且反向. 【方法技巧】 向量共线的判定方法 (1)利用向量共线定理，由a＝λb(b≠0)推出a∥b. (2)利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解. 【题型二】三点共线问题 1★★（单选）已知O为坐标原点，＝(1，1)，＝(3，－1)，＝(a，b). A，B，C三点共线，则a+b=（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D.4 【解析】因为已知＝(1，1)，＝(3，－1)， ＝(a，b)， 若A，B，C三点共线，则∥， 即＝λ·，即(a－1，b－1)＝λ (2，－2)， 所以a－1＝2λ，b－1＝－2λ，即a＋b＝2. 故选B. 2★★★（单选）如图所示，已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则AC与OB的交点P的坐标为（ ） A. (-3，-3) B. (-3，3) C. (3，-3) D. (3，3) 【解析】设P(x，y)，则＝(x，y)， 因为＝(4，4)，且与共线， 所以＝，即x＝y. 又＝(x－4，y)，＝(－2，6)，且与共线， 则得(x－4)×6－y×(－2)＝0， 解得x＝y＝3， 所以P点的坐标为(3，3). 故选D. 3★★（填空）设向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，A，B，