6.4.1-6.4.2 平面向量的应用-【基础过关系列】2022-2023学年高一数学同步知识点剖析精品讲义与分层练习(人教A版2019必修第二册)

6.4.1—6.4.2 平面向量的应用 1 平面几何中的向量方法 ① 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此平面几何中的许多问题都可用向量运算的方法加以解决. ② 用向量方法解决平面几何问题的“三部曲” 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； 把运算结果“翻译”成几何关系. Eg 点不在同一直线上 证明直线平行或共线： 证明直线垂直： 求线段比值：且 证明线段相等： 2 向量在物理中的应用 ① 速度、力是向量，都可以转化为向量问题； ② 力的合成与分解符合平行四边形法则. 【题型1】 向量在几何中的应用 【典题1】 证明 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 【典题2】 用向量方法证明 三角形三条高线交于一点. 【巩固练习】 1.已知是的中位线，用向量的方法证明,且. 2.用向量方法证明 对角线相等的平行四边形是矩形. 3.证明三角形三条中线交于一点。 4.已知平行四边形的对角线为，求证 (即对角线的平方和等于邻边平方和的倍). 【题型2】 向量在物理中的应用 【典题1】 如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是，且与水平夹角均为45°，，则物体的重力大小为　 　． 【典题2】如图，已知河水自西向东流速为，设某人在静水中游泳的速度为，在流水中实际速度为． (1)若此人朝正南方向游去，且，求他实际前进方向与水流方向的夹角和的大小； (2)若此人实际前进方向与水流垂直，且，求他游泳的方向与水流方向的夹角和的大小． 【巩固练习】 1.如图 一个力作用于小车G，使小车G发生了40米的位移，的大小为50牛，且与小车的位移方向的夹角为60°，则在小车位移方向上的正射影的数量为　 　，力做的功为 　 牛米． 2.（多选）如图所示，小船被绳索拉向岸边，设船在水中运动时水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是( ) A．绳子的拉力不断增大 B．绳子的拉力不断变小 C．船的浮力不断小 D．船的浮力保持不变 3.已知，一艘船以的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成角，求水流速度和船实际速度． 4.如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河边的点出发到达对岸的点，船只在河内行驶的路程，行驶时间为．已知船在静水中的速度的大小为，水流的速度的大小为． 求： (1)； (2)船在静水中速度与水流速度夹角的余弦值． 【A组---基础题】 1.一质点在平面上的三个力的作用下处于平衡状态，已知成角，且的大小分别为和，则的大小为( ) A． B． C． D． 2.一条渔船以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为，则这条渔船实际航行的速度大小为(　　) A． B． C．2 D． 3.（多选）一物体受到个力的作用，其中重力的大小为，水平拉力的大小为，力未知，则( ) A．当该物体处于平衡状态时， B．当物体所受合力为时， C．当时， D．当时，必存在实数，使得 4.用向量方法证明 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 5.证明勾股定理，在中，，，,，则 6.用向量方法证明 设平面上四点满足条件，则． 7.已知向量、、满足，．求证是正三角形． 【B组---提高题】 1.在内使的值最小的点是的(　　) A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 2. 如图，一条河的两岸平行，河的宽度，一艘客船从码头出发匀速驶往河对岸的码头．已知，水流速度为，若客船行驶完航程所用最短时间为分钟，则客船在静水中的速度大小为( ) A． B． C． D． 3.如图，分别是四边形的边，的中点，，，，，则线段的长是　　． 【C组---拓展题】 1.在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为θ．给出以下结论 ①越大越费力，越小越省力； ②的范围为； ③当时，； ④当时，． 其中正确结论的序号是　 　． 2. 如图，重为的匀质球，半径为，放在墙与均匀的木板之间，端锁定并能转动，端用水平绳索拉住，板长，与墙夹角为，如果不计木板的重量，则为何值时，绳子拉力最小？最小值是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！（北京）股份有限公司13 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.4.1—6.4.2 平面向量的应用 1 平面几何中的向量方法 ① 由于向量的线