6.3.2 二项式系数的性质-2022-2023学年高二数学同步教学课件（人教A版2019选择性必修第三册）

6.3.2 二项式系数的性质 1、二项式定理: 2、二项式系数: 3、展开式的通项: 复习回顾 有很多有趣的性质, 而且我们可以从不同角度进行研究. (a+b)n展开式的二项式系数 计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表 n (a+b)n的展开式的二项式系数 1 2 3 4 5 6 计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表: 通过计算、填表，你发现了什么? n (a+b)n的展开式的二项式系数 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 1 6 1 6 15 20 15 6 1 从上表可以发现 , 每一行中的系数具有对称性 , 除此以外还有什么规律? 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 为了便于发现规律, 上表还可以写成如下所示的形式: 观察上图，你还能发现哪些规律? ①在同一行中 , 每行两端都是1 , 与这两个1等距离的项的系数相等 . 即： 为了便于发现规律, 上表还可以写成如下所示的形式: 观察上图，你还能发现哪些规律? ②在相邻的两行中, 除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和 . 即： 对于确定的n，我们还可以画出 它的图像． 对于(a+b)n展开式的二项式系数： 还可以从函数角度来分析它们. Cnr可看成是以r为自变量的函数f(r),其定义域是： 例如，当n=6 时，f(r)=Cnr (r∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6})的图象是右图中的7个离散点． f(r) r 6 3 O 6 15 20 1 10 7 探究！(1)观察右图，你发现了什么规律? (2)请你分别画出n=7 , 8 , 9时f(r)=Cnr 的图象，比较它们的异同，你发现了什么规律? (1)对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，事实上，这一性质可直接由Cnm = Cnn-m得到. 分析右图，可以得到二项式系数的 以下性质：   (2)增减性与最大值 当 时， Cnk随k的增加而增大； 由对称性可知 , 当 时， Cnk随k的增加而减小. 当n为奇数时，中间的两项 相等，且同时取得最大值. 当n为偶数时，中间一项 取最大值； 3. 各二项式系数的和： 令x =1，得 令x = -1, 得 例3 证明：在(a+b)n展开式中, 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和. 偶数项的二项式系数的和为 中的a, b可以取任意实数, 因此我们可以通过对a , b适当赋值来得到上述两个系数和. 分析：奇数项的二项式系数的和为 例3 证明：在(a+b)n展开式中, 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和. 中. 令a=1, b= -1，则得 证明：在展开式 即在(a+b)n的展开式中, 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和. 性质1：对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等． 性质2：增减性与最大值 性质3：二项式系数之和 当n为奇数时，中间的两项 相等，且同时取得最大值. 当n为偶数时，中间一项 取最大值； 归纳小结 感谢聆听！ $