“四翼”检测评价（十三） 余弦定理、正弦定理应用举例（Word练习）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

“四翼”检测评价（十三） 余弦定理、正弦定理应用举例 (一)基础落实 1.如图所示，D，C，B三点在地面同一直线上，DC＝100 m，从C，D两点测得A点仰角分别是60°，30°，则A点离地面的高度AB等于(　 ) A．50 m　　　　　　 B．100 m C．50 m D．100 m 解析：选A　因为∠DAC＝∠ACB－∠D＝60°－30°＝30°， 所以△ADC为等腰三角形． 所以AC＝DC＝100 m. 在Rt△ABC中，AB＝ACsin 60°＝50 m. 2.如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于(　 ) A. B. C.－1 D.－1 解析：选C　在△ABC中，由正弦定理， 得＝，∴AC＝100(m)． 在△ADC中，＝， ∴cos θ＝sin(θ＋90°)＝＝－1. 3.(多选)如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔AB(A为塔顶，B为塔底)的高度，选取与B在同一水平面内的两点C与D(B，C，D不在同一直线上)，测得CD＝s，测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有∠ACB，∠ACD，∠BCD，∠ADB，∠ADC，∠BDC，则根据下列各组测量数据可计算出塔AB的高度的是(　 ) A．s，∠ACB，∠BCD，∠BDC B．s，∠ACB，∠BCD，∠ACD C．s，∠ACB，∠ACD，∠ADC D．s，∠ACB，∠BCD，∠ADC 解析：选ACD　对于A，已知∠BCD，∠BDC，CD，即可解△BCD，可得BC，再由AB＝BC·tan∠ACB，可求得塔高，即A符合题意；对于B，由∠ACB，∠BCD，∠ACD与CD无法求得塔高，即B不符合题意；对于C，已知∠ACD，∠ADC，CD，即可解△ACD，可得AC，由AB＝AC·sin∠ACB，可求得塔高，即C符合题意；对于D，若确定∠ACB，∠BCD，则∠ACD确定，又由C可知，可求得塔高，即D符合题意． 4．小华想测出操场上旗杆OA的高度，在操场上选取了一条基线BC，请从测得的数据①BC＝12 m．②B处的仰角60°.③C处的仰角45°.④cos∠BAC＝.⑤∠BOC＝30°中选取合适的，计算出旗杆的高度为(　 ) A．10 m B．12 m C．12 m D．12 m 解析：选D　选①②③⑤，如图所示，则∠ABO＝60°，∠ACO＝45°， 设OA＝x，则OC＝OA＝x，OB＝ .在△BOC中，利用余弦定理BC2＝122＝x2＋2－2x··， 解得x＝12，即OA＝12 m，故选D. 5.如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1 km，且C＝120°，则A，B两点间的距离为________ km. 解析：在△ABC中，易得A＝30°，由正弦定理＝，得AB＝＝＝(km)． 答案： 6．当太阳光线与水平面的倾斜角为60°时，要使一根长为2 m的竹竿的影子最长，则竹竿与地面所成的角α＝________. 解析：如图，设竹竿影子长为x. 依据正弦定理可得＝， 所以x＝·sin(120°－α)． 因为0°<120°－α<120°， 所以要使x最大，只需120°－α＝90°，即α＝30°时，影子最长． 答案：30° 7.如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100 m，汽车从C点到B点历时14 s，则这辆汽车的速度为________m/s.(精确到0.1，参考数据：≈1.414，≈2.236) 解析：由题意可知，AB＝200 m，AC＝100 m， 由余弦定理可得 BC＝≈316.2(m)， 所以这辆汽车的速度为316.2÷14≈22.6(m/s)． 答案：22.6 8.如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为12 n mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求A与D间的距离． 解：在△ABD中，∠ADB＝60°，∠DAB＝75°， ∴B＝45°. ∴AD＝＝＝24(n mile)． 即A与D间的距离为24 n mile. 9.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距6 n mile，渔船乙以5 n mile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2 h追上． (1)求渔船甲的速度； (2)求sin α. 解：(1)依题意，知∠BAC＝120°，AB＝6，AC＝5×2＝10. 在△ABC中，由余弦定理，