7.2.2 复数的乘、除运算（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

7.2.2　复数的乘、除运算 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.掌握复数的乘法和除法运算法则． 2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律． 重点 难点 重点：掌握复数的乘法和除法运算法则和虚数单位i幂值的周期性． 难点：运用复数四则运算求解与复数有关问题. 1．复数乘法的运算法则和运算律 (1)复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝_______________________. (2)复数乘法的运算律 对于任意z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1z2＝___________ 结合律 (z1z2)z3＝__________________ 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝_________________ (ac－bd)＋(ad＋bc)i z2z1 z1(z2z3) z1z2＋z1z3 2 共轭复数 1．复数(3＋2i)i等于 (　　) A．－2－3i B．－2＋3i C．2－3i D．2＋3i 解析：(3＋2i)i＝3i＋2i·i＝－2＋3i. 答案：B [典例]　计算下列各题． (1)(1－i)(1＋i)＋(2＋i)2； (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i. [解]　(1)(1－i)(1＋i)＋(2＋i)2 ＝1－i2＋4＋4i＋i2＝5＋4i. (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i ＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i ＝(3＋11i)(3－4i)＋2i＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i ＝53＋21i＋2i＝53＋23i. 1．两个复数代数形式乘法运算的一般步骤 (1)首先按多项式的乘法展开； (2)再将i2换成－1； (3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式． 2．常用公式 (1)(a±bi)2＝a2±2abi－b2 (a，b∈R)； (2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)．　　 [典例]　在复数范围内解方程x2＋4x＋6＝0. [对点训练] 已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c为实数)． (1)求b，c的值； (2)试判断1－i是否是方程的根． 一、在典题训练中内化学科素养 复数的四则运算是高考最重要的考点之一，绝大部分复数相关的考题都围绕着四则运算展开．高考中对简单运算，特别是特定复数的运算的考查十分丰富，突出数学运算等核心素养． “四翼”检测评价”见 “四翼”检测评价(十七) (单击进入电子文档) 32 (1)复数的乘法与多项式的乘法类似，不同点是在所得结果中把i2换成－1，再把实部虚部分别合并． (2)实数集内乘法、乘方的一些重要结论和运算法则在复数集内不一定成立，如： ①当z∈R时，有|z|2＝z2；当z∈C时，有|z|2∈R，而z2∈C，故|z|2和z2不能进行比较．例如，当z＝1＋i时，|z|2＝2，z2＝2i，此时2和2i不能进行比较． ②当m，n∈R时，有m2＋n2＝0⇔m＝n＝0；当z1，z2∈C时，z12＋z22＝0⇒/ z1＝z2＝0，但z1＝z2＝0⇒z12＋z22＝0. 需注意：z1z2＝0的充要条件是z1＝0或z2＝0.依据复数的乘法运算可得z1z2＝0⇔|z1z2|＝0⇔|z1||z2|＝0⇔z1＝0或z2＝0. 2．复数的除法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R且c＋di≠0)， 则eq \f(z1,z2)＝eq \f(a＋bi,c＋di)＝_________＋_________. 复数的除法的实质是分母“实数化”．若分母为a＋bi型，则分子、分母同乘a－bi；若分母为a－bi型，则分子、分母同乘a＋bi，即分子分母同乘以分母的__________． eq \f(ac＋bd,c2＋d2) eq \f(bc－ad,c2＋d2)i (1)复数的除法与实数的除法有所不同，对于实数的除法，可以直接约分化简，得出结论，但对于复数的除法，因为分母为复数，所以一般不能直接约分化简． (2)复数除法的一般做法：通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成eq \f(a＋bi,c＋di)的形式，再把分子与分母同乘分母的共轭复数，最后将结果化简，即(a＋bi)÷(c＋di)＝eq \f(a＋bi,c＋di) eq \o(――――――――――――――――→,\s\up17(分子、分母同乘分母的共轭复数),\s\do15(目的：分母“实数化”)) eq \f(a＋bic－di,c＋dic－di) eq \o(――――→,\s\up17(按照乘法),\s\do15(法则计算)) eq \f(ac＋bd＋bc－adi