5.1.1 变化率问题课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.1.1　变化率问题 第五章 内容索引 01 02 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养全提升 03 学以致用·随堂检测全达标 课标要求 1.理解平均速度和瞬时速度的关系,并能求解平均速度和瞬时速度. 2.体会抛物线上割线与切线的关系,能求解抛物线上某点处的切线斜率. 基础落实·必备知识全过关 知识点1　平均速度与瞬时速度 1.平均速度:物体的位移与所用时间的比值,通常指物体在某一时间段的速度. 若物体运动的位移与时间的关系式是s=f(t),函数f(t)在t0与t0+Δt之间的平均速度是 2.瞬时速度:在物理中,做变速运动的物体在不同的时刻,速度是不同的,我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. 变速运动物体在不同时刻瞬时速度不同 名师点睛 从物理的角度看,瞬时速度就是将平均速度的时间段改为时间点,即让时间段[t,t+Δt](Δt>0)或者[t+Δt,t](Δt<0)中的时间间隔|Δt|无限趋近于0,此时时间段[t,t+Δt](Δt>0)或者[t+Δt,t](Δt<0)内的平均速度就无限趋近于t时刻的瞬时速度. 名师点睛 从物理的角度看,瞬时速度就是将平均速度的时间段改为时间点,即让时间段[t,t+Δt](Δt>0)或者[t+Δt,t](Δt<0)中的时间间隔|Δt|无限趋近于0,此时时间段[t,t+Δt](Δt>0)或者[t+Δt,t](Δt<0)内的平均速度就无限趋近于t时刻的瞬时速度. 过关自诊 1.判断正误.(正确的打√,错误的打×) (1)圆的半径r从0.1变化到0.3时,圆的面积S的平均变化率为0.4π.(　　) (2)已知某质点的运动路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系为s(t)=5t2,则在1 s到3 s这段时间内,该质点的平均速度为20 m/s.(　　) (3)汽车在行驶时的平均速度与瞬时速度一定不相等.(　　) (4)平均速度刻画运动物体在某一时间段内变化的快慢程度,瞬时速度刻画物体在某一时刻变化的快慢程度.(　　) √ √ × √ 2.平均速度与瞬时速度有什么不同? 提示 平均速度表示的是运动的物体在某一段时间内的快慢程度.瞬时速度反映的是物体在运动过程的某一时刻的运动情况,能精确表示任一时刻物体运动的快慢和方向. 知识点2　割线斜率与切线斜率 1.割线与切线的关系 如图所示,当点Pn(xn,f(xn))沿着曲线无限趋近于点P0(x0,f(x0))时,割线P0Pn无限趋近于一个确定的位置.这个确定位置的直线P0T称为曲线在点P0处的切线. 2.割线斜率与切线斜率的关系 f(x0+Δx)-f(x0)可记为Δy,并且Δy可为正数,可为负数,可为零 过关自诊 1.判断正误.(正确的打√,错误的打×) (1)曲线上给定一点P,过点P可以作该曲线的无数条割线.(　　) (2)有的曲线过它上面的某一点可作两条切线.(　　) (3)抛物线上的任意一点处都存在过该点的切线.(　　) (4)“过点P的曲线y=f(x)的切线”与“曲线y=f(x)在点P处的切线”这两句话含意相同.(　　) √ × √ × 2.如图,我们把一条曲线上的任意一点P附近的图象不断放大,观察有何现象出现? 提示 平均速度表示的是运动的物体在某一段时间内的快慢程度.瞬时速度反映的是物体在运动过程的某一时刻的运动情况,能精确表示任一时刻物体运动的快慢和方向. 重难探究·能力素养全提升 探究点一 求物体运动的平均速度及瞬时速度 角度1　平均速度 【例1】某质点运动的方程为f(x)=-2x2+1(x表示时间,f(x)表示位移),则该质点从x=1到x=2的平均速度为(　　) A.-4 B.-8 C.6 D.-6 答案 D 解析 由题得该质点从x=1到x=2的平均速度为 故选D. 规律方法 求物体运动的平均速度的三个步骤 第一步:求时间的改变量x2-x1; 第二步:求位移的改变量f(x2)-f(x1); 变式训练 1质点的运动规律为s=t2+3(t表示时间,s表示位移),则在时间[3,3+Δt]中,质点的平均速度等于(　　) A.6+Δt B.6+Δt+ C.3+Δt D.9+Δt 答案 A 解析 平均速度为 角度2　瞬时速度 【例2】某物体的运动路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系可用函数s(t)=t2+t+1表示,求物体在t=1 s时的瞬时速度. 变式探究 1在本例条件不变的前提下,试求物体的初速度. 变式探究 2在本例条件不变的前提下,试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s. 规律方法 求运动物体在t=t0时的瞬时速度的三个步骤 (1)求时间改变量Δt和位移改变量s(t0+Δt)-s(t0). 探究点