专题 用勾股定理解决最短路径问题-【题型·技巧培优系列】2022-2023学年八年级数学下册同步精讲精练(人教版)

八年级下册数学《第十七章 勾股定理》 专题 用勾股定理解决最短路径问题 题型一 用计算法求平面中的最短问题 【例题1】如图，某工厂C前面有一条笔直的公路，原来有两条路AC，BC可以从工厂C到达公路，经测量AC＝6千米，BC＝8千米，AB＝10千米，现需要修建一条路，使工厂C到公路的路程最短．请你帮工厂C设计一种方案，并求出新建路的长． 【变式1-1】（2022春•朝天区期末）如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，踩伤了花草．则他们仅仅少走了 　 　步路．（假设2步为1米） 【变式1-2】如图所示，A、B两块试验田相距200米，C为水源地，AC＝160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠． 甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B； 乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A、B进行修筑． （1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）； （2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明． 【变式1-3】小明听说“武黄城际列车”已经开通，便设计了如下问题：如图，以往从黄石A坐客车到武昌客运站B，现在可以在A坐城际列车到武汉青山站C，再从青山站C坐市内公共汽车到武昌客运站B．设AB＝80km，BC＝20km，∠ABC＝120°．请你帮助小明解决以下问题： （1）求A、C之间的距离；（参考数据：4.6） （2）若客车的平均速度是60km/h，市内的公共汽车的平均速度为40km/h，城际列车的平均速度为180km/h，为了最短时间到达武昌客运站，小明应该选择哪种乘车方案？请说明理由．（不计候车时间） 【变式1-4】（2021秋•大名县期末）如图，在△ABC中，AC＝21，BC＝13，D是AC边上一点，BD＝12，AD＝16． （1）求证：BD⊥AC； （2）若E是边AB上的动点，求线段DE的最小值． 题型二 用平移法求平面中的最短问题 【例题2】如图，相邻的两边互相垂直，则从点B到点A的最短距离为（　　） A．13 B．12 C．8 D．5 【变式2-1】（2022春•梁山县期中）如图，已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，且AB＝CD＝3，BC＝4，DE＝EF＝2，则A，F两点间的距离是（　　） A．14 B．6 C．8 D．10 【变式2-2】如图，某校科技创新兴趣小组用他们设计的机器人，在平坦的操场上进行走展示．输入指令后，机器人从出发点A先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向东走70米到达终止点B．求终止点B与原出发点A的距离AB． 【变式2-3】（2022•南京模拟）如图，要为一段高为5米，长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少要　 　米长． 【变式2-4】（2022秋•丰城市校级期末）某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要 元． 题型三 用对称法求平面的最短问题 【例题3】（2022春•苍溪县期末）如图，亮亮在A处看护羊群吃草，其家在B处，A，B到河岸的距离分别为AC＝200m，BD＝100m，CD＝400m，亮亮从A处把羊群赶到河边饮水后回家，作图说明亮亮如何行走路程最短，并求出亮亮走的最短路程． 【变式3-1】（2022春•雄县期末）如图，高速公路的同一侧有A、B两城镇，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA′=2km, BB′=4km , 且A′B′=8km. （1）要在高速公路上A′、B′之间建一个出口P，使A、B两城镇到P的距离之和最小．请在图中画出P的位置，并作简单说明． （2）求这个最短距离． 【变式3-2】（2021秋•新吴区期中）如图，牧童在离河边3km的A处牧马，小屋位于他南6km东9km的B处，他想把他的马牵到河边饮水，然后回小屋．他要完成此过程所走的最短路程是多少？并在图中画出饮水C所在在位置（保留作图痕迹）． 【变式3-3】如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，D是BC的中点，E是AB上的一动点，且不与A，B重合，是否存在一个位置，使DE+CE的值最小？若不存在，说明理由；若存在，试求出最小值． 【变式3-4】如图所示，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，求DN+MN的最小值． 题型四 用展开图求长方体中的最短问题 【例题4】（2022秋•南关区校级期末）如图，一长方体木块长AB＝6，宽BC＝5，高BB1＝2．一只蚂蚁从木块点A处，沿木块表面爬行到点C1位置最短路径的长度为（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，在长方体透明容器（无盖