2023届中职数学一轮复习讲义之抛物线

抛物线 基础知识 1. 抛物线的定义 平面内与一个定点F 和一条直线（不过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，其中，定点F叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线 2 抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0,0) 对称轴 x轴 y轴 焦点 F F F F 离心率 e＝1 准线 　x＝－　 　x＝　 　y＝－　 　y＝　 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径(其中P(x0，y0)) ＝　x0＋　 ＝－x0＋　 ＝　y0＋　 ＝－y0＋　 (1)p的几何意义:焦点到准线的距离. (2)“一次定轴”,抛物线标准方程中的一次项就反映了对称轴是哪个轴,焦点就在该轴上，(正负定点”,抛物线标准方程中的“+”“—”就反映了焦点在该轴的什么位置(“+”号说明焦点就落在该轴的正半轴,“—”号说明焦点落在该轴的负半轴). (3)抛物线焦点弦的弦长:若y2=2px(p>0)或y²=-2px(p>0)时,|AB|=|x1+x2l+p;若x2=2py(p>0)或x2=-2py(p>0)时,lABl=ly1+y2l+p. 基础训练 1.抛物线 y2=16x 的焦点坐标为( ) A.(4,0) B. (0,4) C.(2,0) D.(0,2) 2.已知顶点在原点,焦点为(0,-4)的抛物线方程为( ) A. x²=-4y B.x2=-8y. C.x2=-16y D. x²=16y 3.到定点A(2.0)与定直线的距离相等的点的轨迹方程为（ ） A.y2=8x B.y2=-8x C.x2=8y D.x2=-8y 4顶点在原点,准线方程为y=1的抛物线的标准方程为 5. 以原点为顶点.x轴为对称轴,并且经过点(1，2)的抛物线的标准方程为 重难点突破 考点1 抛物线的标准方程 涉及抛物线上的点到焦点的距离或长度问题时,充分利用抛物线的定义,能简化解题过程起到事半功倍的效果. 【例1】1.抛物线y2=8x的焦点坐标为( ) A. (1，0) B.(2，0) C. (0，1) D. (0，2) 2.抛物线x2=8y的准线为 A.y=2 B.y=-2 C.y=1 D.y=-1 3.已知抛物线x=4y2,则它的焦点到准线的距离是 【变式训练1】 抛物线的焦点坐标为 ( ) A.(0,1) B.(0,-1) C.(-1,0) D.(1,0) 【变式训练 2】 抛物线 y=2x² 的准线方程是 【变式训练3】已知抛物线x2=-4y,则它的焦点到准线的距离是 【例2】已知抛物线的焦点为F,则该抛物线的标准方程为 ( ) A. y²=2x B.x2=2y C.y²=x D. x²=y 【变式训练1】已知抛物线的焦点到准线的距离为5,且焦点在y轴上,则该抛物线的标准方程是( ) A.x2=10y B. y²=10x C.x2=10y或x2=-10y D.y2=10x 或y²=-10x 【变式训练2】已知抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合,则p的值为( ) A. -2 B.2 C.-4 D.4 考点2抛物线的几何性质 抛物线的几何性质包括对称性，焦点坐标、准线方程、焦准距(p),离心率等,在判断和解决问题时,应先将抛物线方程化为标准形式. 物线方程为 【例3】1.已知抛物线y2=2px(p>0)上有一点M,它的横坐标为3,它到焦点距离为5.则抛物线方程为（ ） A. y2=8x B. y2=12x C.y2=16x D.y²=20x 2.抛物线y2=-16x上一点P到y轴的距离为12,则点P到抛物线焦点F的距离是 【变式训练1】若抛物线 y2=2px上到焦点距离为3的点的横坐标为2,则p= ( ) A. 4 B.3 C.2 D. 1 【变式训练 2】 若抛物线 y²=16x上一点P到焦点的距离为12,则点P的坐标为