培优课　椭圆的综合问题及应用课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

高中同步学案优化设计 GAO ZHONG TONG BU XUE AN YOU HUA SHE JI 培优课　椭圆的综合问题及应用 第三章 2022 探究点一 椭圆的中点弦问题 【例1】 已知椭圆 =1的弦AB的中点M的坐标为(2,1),求直线AB的方程. 解 (方法1)易知直线AB的斜率k存在. 设所求直线的方程为y-1=k(x-2), Δ=[-8(2k2-k)]2-4(4k2+1)[4(2k-1)2-16]=16(12k2+4k+3)>0, 解得k∈R. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1,x2是上述方程的两根, 故所求直线的方程为x+2y-4=0. (方法2)设A(x1,y1),B(x2,y2). ∵M(2,1)为AB的中点,∴x1+x2=4,y1+y2=2. 又A,B两点在椭圆上, (方法3)设所求直线与椭圆的一个交点为A(x,y),由于AB的中点为M(2,1),则另一个交点为B(4-x,2-y). ∵A,B两点都在椭圆上, ①-②,得x+2y-4=0. 显然点A的坐标满足这个方程.代入验证可知点B的坐标也满足这个方程,而过A,B的直线只有一条,故所求直线的方程为x+2y-4=0. 探究点三 椭圆中的最值与范围问题 【例3】 如图,点A,B分别是椭圆 =1长轴的左、右端点,点F是椭圆的右焦点,点P在椭圆上,且位于x轴上方,PA⊥PF. (1)求点P的坐标; (2)设M是椭圆长轴AB上的一点,M到直线AP的距离等于|MB|,求椭圆上的点到点M的距离d的最小值. (1)解 设椭圆的右焦点为F1,则OM为△AFF1的中位线. 学以致用•随堂检测全达标 答案 10 解析设椭圆的右焦点为F2,如图所示. 因为|PF|+|PF2|=2a=8,所以|PF|=8-|PF2|, 所以|PA|+|PF|=|PA|-|PF2|+8, 当P点运动到P1的位置时,此时A,F2,P1三点共线,|PA|-|PF2|取得最大值为|AF2|= =2.所以|PA|+|PF|=|PA|-|PF2|+8≤2+8=10. |PA|+|PF|的最大值为10. 4.椭圆4x2+9y2=144内有一点P(3,2),过点P的弦恰好以P为中点,则这条弦所在的直线方程为　　　　　.  答案 2x+3y-12=0 解析 设弦的两个端点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),弦所在直线的斜率为k. ∵P(3,2)为AB的中点,∴x1+x2=6,y1+y2=4. ∵点A,B都在椭圆上, 优化小本 椭圆综合题型 离心率综合题型 $