专题02 平面向量的数量积-2022-2023学年高一数学新教材同步提升之重点题型与难点突破（人教A版2019必修第二册）

专题02平面向量的数量积 题型归类 题型一：求向量的夹角 单选1★★+2★★★+多选3★★填空4★★填空5★★+方法技巧 题型二：向量数量积的基本运算 单选1★★+2★★★+多选3★★填空4★★填空5★★+方法技巧 题型三：几何图形中的向量的数量积 单选1★★+2★★★+多选3★★填空4★★填空5★★+方法技巧 题型四：投影向量 单选1★★+2★★★+多选3★★填空4★★填空5★★+方法技巧 题型五：与向量模有关的问题 单选1★★+2★★★+多选3★★填空4★★填空5★★+方法技巧 题型六：向量的夹角与垂直 单选1★★+2★★★+多选3★★填空4★★填空5★★+方法技巧 难点突破 突破点一：向量数量积的最值问题 突破点二：求参数取值范围 突破点三：利用向量运算判断平面内点、线的位置关系 一、题型归类 【题型一】求向量的夹角 1★★（单选）已知|a|＝10，|b|＝12，且(3a)·＝－36，则向量a与b的夹角为(　　) A．60° B．120° C．135° D．150° 【解析】(3a)·＝－36，即a·b＝－60，cosθ＝＝＝－，所以a与b的夹角为120°。 故选B. 2★★★（单选）在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AB，则与的夹角是(　　) A．30°　　　B．60°　　　C．120°　　　D．150° 【解析】如图，作向量＝，则∠BAD是与的夹角，在△ABC中，因为∠C＝90°，BC＝AB，所以∠ABC＝60°，所以∠BAD＝120°。 故选C. 3★★（多选）下列说法正确的是(　　) A．向量a在向量b上的投影向量可表示为· B．若a·b<0，则a与b的夹角θ的范围是 C．若△ABC是等边三角形，则，的夹角为60° D．若a·b＝0，则a⊥b 【解析】对于选项A，根据投影向量的定义，知A正确；对于选项B，∵a·b＝|a||b|cos θ<0，则cos θ<0，又∵0≤θ≤π，∴θ∈，故B正确；对于选项C，若△ABC是等边三角形，则，的夹角为120°，故C错误；对于选项D，a·b＝0⇒a⊥b或a＝0或b＝0，故D错误． 故选AB. 4★★（填空）已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角θ为 【解析】由题意知，a·b＝|a||b|cosθ＝4cosθ＝2，即cosθ＝，又0≤θ≤π，所以θ＝。 5★★（解答）已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？ 【解析】如图所示，作＝a，＝b，且∠AOB＝60°。 以，为邻边作平行四边形OACB，则＝a＋b，＝a－b。 因为|a|＝|b|＝2，所以平行四边形OACB是菱形，又∠AOB＝60°，所以与的夹角为30°，与的夹角为60°。 即a＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°。 【方法技巧】 (1)求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出。 (2)特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b(λ1，λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2<0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2>0时，θ0＝θ。 【题型二】向量数量积的基本运算 1★★（单选）已知|a|＝6，|b|＝4，向量a与b的夹角为60°，则(a＋2b)·(a－3b)＝(　　) A．72 B．－72 C．36 D．－36 【解析】(a＋2b)·(a－3b)＝|a|2－a·b－6|b|2＝62－6×4×cos60°－6×42＝－72。 故选B。 2★★★（单选）已知平面上三点A，B，C，满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值等于(　　) A．－7 B．7 C．25 D．－25 【解析】由条件知∠ABC＝90°，所以原式＝0＋4×5×cos(180°－C)＋5×3cos(180°－A)＝－20cosC－15cosA＝－20×－15×＝－16－9＝－25。 故选D. 3★★（多选）下面给出的关系式中正确的是(　　) A．0·a＝0 B．a·b＝b·a C．a2＝|a|2 D．(a·b)2＝a2·b2 【解析】A，B，C正确，D错误，(a·b)2＝(|a||b|cosθ)2＝a2·b2cos2θ≠a2·b2，θ为向量a与b的夹角。 故选ABC。 4★★（填空）已知向量a与b的夹角θ＝150°，且|a|＝3，|b|＝4，则 (1)(a－b)2＝________； (2)(a＋b)·(a－2b)＝________。 【解析】 (1)(a