专题24 棱柱、棱锥、棱台的结构特征-2022-2023学年高一数学同步备好课之题型全归纳（人教A版2019必修第二册）

专题24 棱柱、棱锥、棱台的结构特征 1．空间几何体的定义及分类 (1)定义：如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体． (2)分类：常见的空间几何体有多面体与旋转体两类． 2．空间几何体 类别 定义 图示 多面体 由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体． 围成多面体的各个多边形叫做多面体的面； 两个面的公共边叫做多面体的棱； 棱与棱的公共点叫做多面体的顶点 旋转体 一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的这条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面， 封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体． 这条定直线叫做旋转体的轴 3．棱柱、棱锥、棱台的结构特征 (1)棱柱的结构特征 定义 一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形， 并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 图示及 相关概念 记作棱柱ABCDEF­A′B′C′D′E′F′ 底面：两个互相平行的面； 侧面：底面以外的其余各面； 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：侧面与底面的公共顶点 分类 按底面多边形的边数分：三棱柱，四棱柱，… (2)棱柱的分类 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱． 斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱． 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱． 平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱． (3)各种棱柱之间的关系 ①棱柱的分类:棱柱 ②常见的几种四棱柱之间的转化关系: (4)棱锥的结构特征 定义 有一面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形， 由这些面所围成的多面体叫做棱锥 图示及 相关概念 记作棱锥S­ABCD 底面：多边形面； 侧面：有公共顶点的各三角形面； 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：各侧面的公共顶点 分类 按底面多边形的边数分：三棱锥，四棱锥，…，其中三棱锥又叫四面体， 底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫正棱锥 (5)棱台的结构特征 定义 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台 图示及 相关概念 记作棱台ABCD­A′B′C′D′ 上底面：原棱锥的截面； 下底面：原棱锥的底面； 侧面：除上下底面以外的面； 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点 分类 由几棱锥截得，如三棱台、四棱台、… (6)棱柱、棱台、棱锥关系图 4．有关棱柱概念辨析问题应紧扣棱柱定义： ①两个面互相平行；②其余各面是四边形； ③相邻两个四边形的公共边互相平行．求解时，首先看是否有两个面平行，再看是否满足其他特征． 5．关于棱锥、棱台结构特征题目的判断方法： (1)举反例法：结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确． (2)直接法： 棱锥 棱台 定底面 只有一个面是多边形，此面即为底面 两个互相平行的面，即为底面 看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点 6．多面体展开图问题的解题策略 (1)绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图． (2)由展开图复原几何体：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推．同一个几何体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图． 题型一 棱柱的结构特征 1．下面的几何体中是棱柱的有(　　) A．3个　　　B．4个　　　C．5个　　　D．6个 解析：棱柱有三个特征：(1)有两个面相互平行．(2)其余各面是四边形．(3)侧棱相互平行． 本题所给几何体中⑥⑦不符合棱柱的三个特征，而①②③④⑤符合，故选C. 2．下列关于棱柱的说法： ①所有的面都是平行四边形；②每一个面都不会是三角形； ③两底面平行，并且各侧棱也平行；④被平面截成的两部分可以都是棱柱． 其中正确说法的序号是__________． 解析：①错误，棱柱的底面不一定是平行四边形； ②错误，棱柱的底面可以是三角形； ③正确，由棱柱的定义易知； ④正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，所以正确说法的序号是③④. 3．下列命题中，正确的是(　　) A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面 C．棱柱的侧面是平行四边形，但底面不是平行四边形 D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形 解析：由棱柱的定义可知，只有D正确，分别构造图形如下： ①　　　 ②　　 　　③　　 图①中平面ABCD与平面A1B1C1D1平行，但