5.1.2导数的概念及几何意义课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.1.2导数的概念及 几何意义 下雨天，当我们将雨伞转动时，伞面边沿的水滴沿着伞的切线方向飞出．实际上物体(看作质点)做曲线运动时，运动方向在不停地变化，其速度方向为质点在其轨迹曲线上的切线方向，我们可以利用导数研究曲线的切线问题． 情境导入 水滴沿伞边切线飞出 2019年国际田联钻石联赛伦敦站男子200米比赛，中国选手谢震业以19秒88夺冠，这不仅刷新了全国纪录，还创造了新的亚洲纪录．赛后各国教练都在研究他的弯道技术，通过回放录像分析其弯道时的运动方向．这需要求运动曲线在任一点的切线．怎样求曲线的切线？ 观察函数f(x)的图象平均变化率 表示什么? O A B x y y=f(x) x1 x2 f(x1) f(x2) x2-x1=△x f(x2)-f(x1)=△y 直线AB的斜率 思考? * 函数平均变化率的几何意义和物理意义 平均变化率的几何意义是表示函数y＝f(x)图象上割线P1P2的斜率(其中P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2)))， 问题 抛物线的切线的斜率 P 割线 切线 T 请看当点 沿着曲线逐渐向点 接近时,割线 绕着点P逐渐转动的情况. P点无限趋近于P0点时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置P0T o x y y=f(x) o x y y=f(x) P 割线 切线 T 思考: h t o 58.unknown 巩固练习．如图所示是函数y＝f(x)的图象，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(　　) A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)<f′(xB) C．f′(xA)＝f′(xB) D．f′(xA)与f′(xB)的大小不能确定 B　解析：分别过A，B两点作曲线的切线，可知切线的斜率kB>kA，∴f′(xB)>f′(xA)． 曲线的切线与导数注意 ①函数f(x)在x＝x0处有导数，则在该点处函数f(x)表示的曲线必有切线，且导数值是该切线的斜率． ②函数f(x)表示的曲线在点(x0，f(x0))处有切线，但函数f(x)在该点处不一定可导，如f(x)＝eq \r(3,x)在x＝0处有切线，但不可导． 曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以有无穷多个．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线． 例1.　已知函数f(x)＝2x2＋4x，则f′(3)＝________. ∴f′(3)＝lieq \o(m,\s\do10(Δx→0)) (2Δx＋16) B　解析：分别过A，B两点作曲线的切线，可知切线的斜率kB>kA，∴f′(xB)>f′(xA)． ∴eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(2Δx2＋16Δx,Δx) 用导数定义求函数在某一点 处的导数的三个步骤 一差(1)作差Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)． 二比(2)作比eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx). 三极(3)取极限f′(x0)＝lieq \o(m,\s\do10(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx). 巩固练习．如图所示是函数y＝f(x)的图象，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(　　) A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)<f′(xB) C．f′(xA)＝f′(xB) D．f′(xA)与f′(xB)的大小不能确定 导数的概念   巩固练习．求函数y＝x－eq \f(4,x)在x＝2处的导数． 解： (导数定义法)： Δy＝(2＋Δx)－eq \f(4,2＋Δx)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(4,2))) ＝Δx＋eq \f(2Δx,2＋Δx)， eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(Δx＋\f(2Δx,2＋Δx),Δx)＝1＋eq \f(2,2＋Δx)， ∴eq \o(lim,\s\do14(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \o(lim,\s\do14(Δx→0)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2,2＋Δx)))＝2， 从而y′|x＝2＝2. 例2.已知函数f(x)＝2x2＋4x，若f′(x0)＝12，则x0＝________. 解析：根据导数的定义 f′(x0)＝lieq \o(m,\s\do10(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝lieq \o(m,\s\do10(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx) ＝lieq \o(m,\s\do10(Δx→0)) eq \f(2x0＋Δx2＋4x0＋Δx－2x\o