8.2 一元线性回归模型及其应用 (精讲）-【精讲精练】2022-2023学年高二数学下学期同步精讲精练（人教A版2019选择性必修第三册）

8.2 一元线性回归模型及其应用(精讲） 8.2.1一元线性回归模型 8.2.2一元线性回归模型参数的最小二乘法估计 目录 题型1:根据散点图判断线性相关 题型2：求回归直线方程 题型3：用回归直线方程对总体进行估计 题型4:根据回归直线方程求原数据中的值 题型5：计算样本中心 题型6：根据回归直线方程进行数据估计 题型7：根据样本中心求参数 题型8：残差分析 题型9：求相关指数 三、高考（模拟）题体验 一、必备知识 知识点1：一元线性回归模型 （1）一元线性回归模型 我们称 为关于的一元线性回归模型，其中称为因变量或响应变量，称为自变量或解释变量；和为模型的未知参数，称为截距参数，称为斜率参数；是与之间的随机误差. （2）随机误差 在线性回归模型中，和为模型的未知参数，是与之间的误差,通常为随机变量，称为随机误差.它的均值，方程. 线性回归模型的完整表达式为 , 在此模型中，随机误差的方差越小，用预报真实值的精度越高. 知识点2：一元线性回归模型参数的最小二乘法 （1）经验回归方程的求解法：最小二乘法 回归直线方程过样本点的中心，是回归直线方程最常用的一个特征； 我们将称为关于的线性回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线。这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做，的最小二乘估计,其中称为回归系数，它实际上也就是经验回归直线的斜率，为截距. 其中 （2）求经验回归方程的步骤 ①作出散点图，判断两变量是否具有线性相关关系，若具有线性相关关系，则可求其经验回归方程； ②列表求出,的值； ③利用公式先计算,再根据经验回归直线过样本点的中心计算； ④写出经验回归方程. 求经验回归方程，关键在于正确求出系数,,由于计算量较大，所以计算时要仔细谨慎、分层进行，避免因计算产生错误要特别注意，只有两个变量呈线性相关关系时，求出的经验回归方程才有意义. （3）经验回归方程的性质 ①经验回归直线一定过点,点通常称为样本点的中心； ②一次函数的单调性由的符号决定，函数递增的充要条件是；函数递减的充要条件是.这说明：与正相关的充要条件是；与负相关的充要条件是. ③在经验回归方程中，是经验回归直线的斜率，是截距.一般地，当回归系数时，说明两个变量呈正相关关系，它的意义是当每增大一个单位时，平均增大个单位；当时，说明两个变量呈负相关关系，它的意义是当每增大一个单位时，平均减小个单位. 知识点3：残差 （1）残差 对于响应变量，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差. （2）残差图 作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图．若残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，带状区域越窄，则说明拟合效果越好. （3）残差分析 残差是随机误差的估计结果，通过残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析.其步骤为：计算残差化残差图在残差图中分析残差特性. 知识点4：决定系数 （1）残差平方和 残差平方和，残差平方和越小，模型拟合效果越好，残差平方和越大，模型拟合效果越差. （2）决定系数 决定系数是度量模型拟合效果的一种指标，在线性模型中，它代表解释变量客户预报变量的能力. ，越大，即拟合效果越好，越小，模型拟合效果越差. （3）决定系数与相关系数的联系与区别 ①相关系数反映两个变量的相关关系的强弱及正相关或负相关，决定系数反映回归模型的拟合效果. ②在含有一个解释变量的线性模型中，决定系数的数值是相关系数的平方，其变化范围为，而相关系数的变化范围为. ③当相关系数接近于1时，说明两变量的相关性较强，当接近于0时，说明两变量的相关性较弱；而当接近于1时，说明经验回归方程的拟合效果较好. 题型1:根据散点图判断线性相关 典型例题 例题1．（2022·高二课时练习）某个男孩的年龄与身高的统计数据如下表所示． 年龄（岁） 1 2 3 4 5 6 身高（cm） 78 87 98 108 115 120 其散点图如下，则与________（填“具有”或“不具有”）线性相关关系． 例题2．（2022·高二课时练习）某商城在某年前5个月的销售额和利润额资料如下表所示： 月份 一月 二月 三月 四月 五月 销售额/千万元 利润额/千万元 (1)根据上表数据画出散点图； (2)观察散点图，判断利润额与销售额之间是否具有线性相关关系． 同类题型演练 1．（2022·高二课时练习）某农产品公司的科研人员在7块并排、形状大小相同的试验田上对某新品种棉花进行施肥量X（单位：kg）对产量Y（单位：kg）影响的试