5.1.2.2 导数的概念及其几何意义 课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.1.2.2 导数的概念及其几何意义 第五章 一元函数的导数及其应用 凯里一中 尹 洪 13 二月 2023 （一） 创设情境 揭示课题 3 （二） 阅读精要 研讨新知 例题研讨 学习例题的正规表达 学习例题的常规方法 从例题中学会思考 如何看例题 9 10 小组互动 13 14 （三） 探索与发现 思考与感悟 （四） 归纳小结 回顾重点 （五） 作业布置 精炼双基 付出与回报 付出与回报 付出与回报 75% 55% 85% 销售 额 第一季度 第二季度 0.75 0.25 销售额 第一季度 第二季度 0.55 0.45 销售额 第一季度 第二季度 0.84 0.16 属于不断付出与攀登的人 数学的美妙风景 【回顾】 导数(derivative) 平均变化率 自变量从变化到 叫做 函数从到的平均变化率. 瞬时变化率 无限趋近于一个确定的值， 则称在处可导 叫做在处的导数(derivative) (也称为瞬时变化率) 【问题】我们知道，导数表示在处的瞬时变化率，反映了函数附近的 变化情况，那么导数的几何意义是什么？ 【观察与思考】观察函数的图象，平均变化率表示什么？ 瞬时变化率表示什么？ 阅读课本 【解读】平均变化率表示割线的斜率. 当曲线的图象上的任意点沿着曲线无限趋近于点时，  割线无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线称为曲线 在点处的切线(tangent line). 【导数的几何意义】瞬时变化率即为函数在处的导数， 即为切线的斜率. 所以表示切线的斜率， 【动态体验】 利用信息技术工具，演示图中的 动态变化效果，做一做，看一看! 【结论】从求函数在处导数的过程可以看到， 当时， 是一个 唯一确定的数. 这样，当变化时，就是的函数， 我们称它为的导函数(derived function)  (简称导数).  的导函数有时也记作， 即. 阅读领悟课本 例4、例5 （2）当时，曲线在处的切线的斜率.  这时，在附近曲线下降，即函数在附近单调递减. （3）当时，曲线在处的切线的斜率.  这时，在附近曲线下降，即函数在附近也单调递减. 从图5.1-6可以看出，直线的倾斜程度小于直线的倾斜程度， 这说明曲线在附近比在附近下降得缓慢. 例4图5.1-6 是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数  的图象,根据图象，请描述、比较曲线在附近的变化情况. 解：用曲线在处的切线斜率来刻画曲线在上述三个时刻附近的变化情况. （1）当时， 曲线在处的切线平行于轴，. 这时，在附近曲线比较平坦，几乎没有升降. 例5图5.1-7 是人体血管中药物浓度 (单位: mg/mL)随时间 (单位: min)变化的函数图象. 根据图象， 估计 min时，血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1). 解：血管中某时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度)在此时刻的导数， 从图象上看，它表示曲线在此点处的切线的斜率. 例5图5.1-7 是人体血管中药物浓度 (单位: mg/mL)随时间 (单位: min)变化的函数图象. 根据图象， 估计 min时，血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1). 如图5. 1-7,画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率， 可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值. 作处的切线，并在切线上取两点， 如， 则该切线的斜率，所以 表5.1-3给出了药物浓度的瞬时变化率的估计值. 0.2 0.4 0.6 0.8 药物浓度的瞬时变化率 0.4 0 完成课本练习1、2、3、4 同桌交换检查，老师答疑. 1. 若函数在处的切线斜率为2，则_________. 解：由已知，，解得 答案： 2.下列点中，在曲线上，且在该点处的切线倾斜角为的是(　　) A． B． C． D． 解：由已知， 又，所以 ，故选D. 3. 曲线在点处的切线与轴、直线所围成的三角形的面积为(　　) A. B. C. D. 解：由已知，可求得,所以,切线方程为，即, 与轴的交点坐标为,与的交点坐标为, 围成三角形面积为. 故选C 4. 设点是曲线上的任意一点, 点处的切线的倾斜角为, 则的取值范围为　　　　. 解：设,因为 所以切线的斜率，所以 所以 答案: 导数的几何意义与导函数(derived function)  导数的几何意义 函数在处的切线的 斜率 导函数(derived function)  1.完成课本习题5.1 7、8、9、10、11、12 2.预习5.2 导数的运算 $