5.3.2函数的极值与最大(小)值

1.函数的极值 5.3.2函数的极值与最值 在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函数的增减.如果函数在某些点的导数为0，那么在这些点处函数有什么性质呢？ 观察图, 我们发现, t=a时，高台跳水运动员距水面高度最大．那么, 函数h(t)在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地, 导数的符号有什么变化规律？ O t a b h 单调递增 单调递减 放大t=a附近函数h(t)的图像，可以看出，h′(a)=0； 在t=a的附近，当t<a时，函数h(t)单调递增，h′(t)>0； 当t>a时，函数h(t)单调递减，h′(t)<0. 单调递增 单调递减 O t a b h 这就是说，在t=a附近，函数值先增(t<a, h′(t)>0 )后减(t>a, h′(t)<0 ). 这样，当t在a的附近从小到大经过a时, h′(t)先正后负, 且h′(t)连续变化, 于是有h′(a)=0 . 对于一般函数y=f(x)，是否也有同样的性质呢？ 探究！观察下图，函数y=f(x)在x=a, b, c, d, e等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y=f(x)在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，函数y=f(x)导数的正负性有什么规律？ O a c b x y d e 函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小, f′(a)=0; 而且在点x=a附近的左侧, f′(x)<0, 右侧f′(x)>0. 以x=a，b两点为例，可以发现： 探究！观察下图，函数y=f(x)在x=a, b, c, d, e等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y=f(x)在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，函数y=f(x)导数的正负性有什么规律？ O a c b x y d e 类似的，函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f′(b)=0 ; 而且在点x=b附近的左侧，f′(x)>0, 右侧f′(x)< 0. O a c b x y d e 我们把 a 叫做函数 y=f(x) 的极小值点 , f(a)叫做函数y=f(x)的极小值; b叫做函数y=f(x)的极大值点, f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. 极大值点与极小值点统称极值点，极大值与极小值统称极值. 极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质. 如下图是函数y=f(x)，x∈[a, b]的图象，找出哪些是极小值，哪些是极大值？ 思考? 极大值一定比极小值大吗？ 图中f(x1), f(x3) , f(x5)是极小值， f(x2) , f(x4) , f(x6) 是极大值． 极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值. x (－∞, －2) －2 (－2,2) 2 (2, +∞) f (x) + 0 － 0 + f (x) 当x变化时，f’ (x), f(x)的变化情况如下表： 单调递增↗ 单调递减↘ 单调递增↗ 当x变化时，f’ (x) , f(x)的变化情况如下表： 因此, 当x=-2时, f(x)有极大值, 并且极大值为f(-2) =. 因此, 当x=2时 , f(x)有极小值, 并且极小值为f(2) =. 可导函数的极值点一定使它的导数为零，反之，导数值为零的点，不一定是该函数的极值点. 思考？导数值为0的点一定是函数的极值点吗? 一般地，函数y=f(x)在一点的导数值为0是函数y=f(x)在这点取极值的必要条件，而非充分条件 . 例如，函数f(x)=x3，我们有f′(x)=3x2. 虽然f′(0)=0, 但由于无论x>0还是x<0, 恒有f′(x)>0; 即函数f(x)=x3是单调递增的, 所以x=0不是函数f(x)=x3的极值点 . 一般地，可按如下方法求函数y=f(x)极值： 求导数f ′(x)，解方程f ′(x) =0 . 当f ′(x0) =0时： (1) 如果在x0附近的左侧 f ′(x) >0, 右侧f ′(x) <0, 那 么, f(x0)是极大值; (2) 如果在x0附近的左侧f ′(x) <0, 右侧f ′(x) >0, 那么, f(x0)是