5.3.1函数单调性的应用第2课时

函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的单调性 形如f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的函数应用广泛，下面我们利用导数来研究这类函数的单调性. 函数单调性2 (2)用导数判断函数单调性的步骤； (3)应用导数判断函数图象； (1)函数的单调性与导数的正负的关系； 在某个区间(a, b) 内，如果f′(x)>0, 那么函数y=f(x)在区间(a, b)上单调递增； 在某个区间(a, b)内，如果f′(x)<0, 那么函数y=f(x)在区间(a, b)上单调递减； (1)求函数的定义域； (2)求f'(x)； (3)解不等式f'(x)>0(或f'(x)<0)；即为f(x) 的单调增（或减）区间; 复习回顾 例3 求函数f(x)=x3- x2-2x+1的单调区间. 解:函数f(x)= x3- x2-2x+1定义域为R. 对f(x)求导数，得 f '(x)=x2-x-2=(x+1)(x-2). x=-1和x=2把函数定义域划分成三个区间，f(x)在各区间上的正负，以及f(x)的单调性如表所示. 令f ′(x)=0, 解得 x=-1, 或x=2. x (-∞, -1) -1 (-1, 2) 2 (2, +∞) f′(x) 0 0 f(x) f(-1)= f(2)= - 单调递增 单调递减 单调递增 例3 求函数f(x)=x3- x2-2x+1的单调区间. 所以，f(x)在(-∞, -1)和(2, +∞) 上单调递增，在(-1, 2)上单调递减， 如图所示. 练习: (1)已知f(x)=x3−ax在 (−∞,−1] 上单调递增，则实数a的取值范围是( ) A. a>3 B. a≥3 C. a<3 D. a≤3 解:由已知可得f′(x)=3x2-a在 (−∞,−1]上满足f′(x)≥0， 即a≤3x2在 (−∞,−1]上恒成立， 又因为y=3x2-a在 (−∞,−1] 上的最小值为3×(−1)2=3 , 所以a ≤ 3 ，故选D. (2)已知函数f(x)=x3−3x2+1, 若函数f(x) 在区间(m, 2m−) 上单调递减, 求实数 m 的取值范围. 解: ∵ f(x)=x3−3x2+1, ∴f′(x)=3x2−6x. 令f′(x)=3x2−6x<0 , 解得 0<𝑥<2, 则f(x)的单调递减区间为(0, 2), ∵f(x)在区间(m, 2m−)上单调递减, (3)已知函数f(x)=x3+3x2 ，若函数f(x)在区间[m, m+1]上不单调, 求实数m的取值范围. 解: ∵ f(x)=x3+3x2 , ∴ f′(x)=3x2+6x. 令f′(x)=3x2+6x ≥0, 解得x≥0或x≤−2, ∵ f(x)在区间[m, m+1]上不单调, ∴m<−2<m+1或m<0<m+1, 解得−3<m<−2或−1<m<0, 故实数m的取值范围是(−3, −2)∪(−1, 0). 一般情况下，我们可以通过如下步骤判断函数y=f(x)的单调性： 探究! 研究对数函数y=lnx与幂函数y=x3在区间(0,+∞)上增长快慢的情况. 第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负, 由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性. 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导数f′(x)的零点； 对数函数y=lnx的导数为y′=>0 (x∈(0, +∞)) , 所以y=lnx在区间(0, +∞)上单调递增 , 当x越来越大时 , y′= 越来越小 , 所以函数y=lnx递增得越来越慢 , 图象上升得越来越“平缓”(如图(1)). 幂函数y=x3导数为y′=3x2 >0 (x∈(0, +∞)) , 所以y=x3在区间(0, +∞)上单调递增, 当x越来越大时 , y′=3x2越来越大 , 函数y=x3递增得越来越快 , 图象上升得越来越“陡峭”(如图 (2)). 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下) ; 反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”. 例4 设x>0 , f(x)=lnx , g(x)=1- , 两个函数的图象如图所示. 判断f(x) , g(x)的图象与C1 , C2之间的对应关系. 解: 因为f(x)=lnx , g(x)=1- ,