5.3.1函数的单调性与导数第1课时

5.3.1 函数的单调性 5.3 导数在研究函数中的应用 在必修第一册中，我们通过图像直观，利用不等式、方程等知识，研究了函数的单调性、周期性、奇偶性以及最大（小）值等的性质. 在本章前两节中我们学习了导数的概念和运算，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化，能否利用导数更加精确地研究函数的性质呢？本节我们就来讨论这个问题. 我们先来研究前面学习过的高台跳水问题. 思考? 图(1)是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度h随时间t变化的函数 h(t)=-4.9t2+4.8t+11的图像. 运动员从起跳到最高点，及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？如何从数学上刻画这种区别？ h t O h(t)=-4.9t2+4.8t+11 v t O v(t)=-9.8t+4.8 图(2)是跳水运动员的速度v随时间t的变化的函数v(t)=h′(t) =−9.8t+4.8的图象，a= , b是函数h(t)的零点. 运动员从起跳到最高点，及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？如何从数学上刻画这种区别？ (1)从起跳到最高点, 运动员的重心处于上升状态, 离水面的高度h随时间t的增加而增加, 即h(t)是单调递增. 相应的v(t)=h′(t)>0 . 观察图像可以发现: 运动员从起跳到最高点，及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？如何从数学上刻画这种区别？ (1)从起跳到最高点, h(t)是单调递增, v(t)=h′(t)>0. 观察图像可以发现: (2) 从最高点到入水，运动员的重心处于下降状态，离水面的高度h随时间t的增加而减小，即h(t)是单调递减. 相应地，v(t)=h'(t)<0. 思考? 我们看到，函数h(t)的单调性与h′(t)的正负有内在联系. 那么，我们能否由h′(t)的正负来判断函数h(t)的单调性呢？ 当t∈(a, b)时， h′(t)<0，函数h(t)的图象是“下降”的，函数h(t)在(a, b)上单调递减. 对于高台跳水问题，可以发现： 当t∈(0, a)时， h′(t)>0，函数h(t)的图象是“上升”的，函数 h(t)在(0, a)上单调递增； 这种情况是否具有一般性呢？ 观察！观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函数正负的关系. 解析：图(1)中，f′(x)=1>0，函数f(x)在R上是增函数. 图(3)中，f′(x)=3x2≥0，函数f(x)是增函数. 图(2)中，f′(x)=2x，x<0时, f′(x)<0 ，函数f(x)在区间(-∞, 0)上是减函数； x>0时, f′(x)>0, 函数f(x)在(0, +∞)是增函数. 图(4)中，f′(x)=−<0，函数f(x)在区间(-∞, 0), (0, +∞)是增函数. x y O y = f(x) 如图，导数f′(x0)表示函数y=f(x)的图象在点(x0, f(x0))处的切线的斜率. 可以发现： 在x=x0处, f′(x0)>0, 切线是“左下右上”的上升式, 函数f(x)的图象也是上升的, 函数f(x)在x=x0附近单调递增; 在x=x1处, f′(x1)<0, 切线是“左上右下”的下降式, 函数f(x)的图象也是下降的, 函数f(x)在x=x0附近单调递减. 一般地，函数f(x)的单调性与导函数f′(x)的正负之间具有如下的关系： 在某个区间(a, b)上，如果f′(x)>0，那么函数y= f(x)在区间(a, b)上单调递增； 在某个区间(a, b)上，如果f′(x)<0，那么函数y= f(x)在区间(a, b)上单调递减. 思考? 如果在某个区间上恒有f′(x)=0，那么函数f(x)有什么特性？ 如果在区间I上恒有f′(x)=0 , 那么对于I上任意一点(x0, f(x0)), 函数y=f(x)的图象在点(x0, f(x0))处的切线的斜率为0, 从而函数y=f(x)在区间I上是常数函数, 即f(x) =C (C为常数). 例1 利用导数判断下列函数的单调性： (1)f(x)=x3+3x; (2) f(x)=sinx-x, x∈(0, π) (3) f(x)＝. 所以，函数f(x)=x3+3x在R上单调递增， 如图所示. 解：(1)因为f(x)=x3+3x, 所以f′(x)=3x2+3=