第2章 2 从位移的合成到向量的加减法（作业）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】北师大版

[必备知识·基础巩固] 1．(多选题)下列命题中，正确的是(　　) A．在平行四边形ABCD中，＋－＝0 B．a＋b＝a⇔b＝0 C．a－b＝b－a D.＋＋＋的模为0 解析　A，B，D正确，a－b＝－(b－a)，故C不正确． 答案　ABD 2．(多选题)如图所示，在平行四边形ABCD中，下列结论中正确的是(　　) A．＝　　　　　 B．＋＝ C．－＝ D．＋＝0 解析　A显然正确，由平行四边形法则知B正确.－＝，故C错误．D中＋＝＋＝0. 答案　ABD 3．下列各式中，不能化简为的是(　　) A．＋－ B．(＋)＋(－) C．－＋ D.＋(＋) 解析　对于A，＋－＝－； 对于B，(＋)＋(－)＝＋＋－＝＋＝；对于C，－＋＝＋－＝；对于D，＋(＋)＝＋＋＝.故选A． 答案　A 4.如图，在△ABC中，若D是边BC的中点，E是边AB上一点，则－＋＝________ . 解析　－＋＝＋＋＝＋， 因为＋＝0， 所以－＋＝0. 答案　0 5．已知|a|＝8，|b|＝15，则|a－b|的取值范围为________． 解析　由向量三角不等式， ||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|，得7≤|a－b|≤23， 当a，b同向时，不等式左边取等号． 当a，b反向时，不等式右边取等号． 答案　[7,23] 6．如图所示，O是平行四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，设＝a，＝b，＝c，求证：b＋c－a＝. 证明　证法一　因为b＋c＝＋＝＋＝，＋a＝＋＝，所以b＋c＝＋a，即b＋c－a＝. 证法二　因为c－a＝－＝－＝，＝＋＝－b， 所以c－a＝－b，即b＋c－a＝. [关键能力·综合提升] 7．(多选题)设a＝(＋)＋(＋)，b是一个非零向量，则下列结论正确的有(　　) A．a∥b　　　　 B．a＋b＝a C．a＋b＝b D．|a＋b|＜|a|＋|b| 解析　由题意知向量a＝(＋)＋(＋)＝＋＝0，又b是一个非零向量， 所以a∥b成立，故A正确； a＋b＝b，故B不正确，C正确； 因为|a＋b|＝|b|，|a|＋|b|＝|b|，所以|a＋b|＝|a|＋|b|，故D不正确．故选AC． 答案　AC 8．在边长为1的正三角形ABC中，|－|的值为(　　) A．1 B．2 C． D． 解析　如图，以AB，BC为邻边作菱形ABCD， 则－＝－(＋)＝－＝. 由图可知，||等于等边△ABC的边AC上的高的2倍，所以||＝2×＝， 所以|－|＝.故选D. 答案　D 9.如图所示，已知正方形ABCD的边长等于1，＝a，＝b，＝c.则 (1)|a＋b＋c|＝________ . (2)|a－b＋c|＝________ . 解析　(1)如图，由已知得a＋b＝＋＝＝c，所以延长AC到E，使||＝||. 则a＋b＋c＝，且||＝2. 所以|a＋b＋c|＝2. (2)作＝，连接CF，则＝－＝a－b，所以a－b＋c＝＋＝， 且||＝2，所以|a－b＋c|＝2. 答案　(1)2　(2)2 10．已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，M是斜边AB的中点，＝a，＝b. 求证：(1)|a－b|＝|a|； (2)|a＋(a－b)|＝|b|. 证明　因为△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°， 所以CA＝CB.又M是斜边AB的中点， 所以CM＝AM＝BM. (1)因为－＝， 又||＝||，所以|a－b|＝|a|. (2)因为M是斜边AB的中点， 所以＝， 所以a＋(a－b)＝＋(－) ＝＋＝＋＝. 因为||＝||，所以|a＋(a－b)|＝|b|. [核心素养·探索创新] 11．在某地抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和． 解析　如图所示，设，分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km，从B地按南偏东55°的方向飞行800 km. 则飞机飞行的路程指的是||＋||；两次飞行的位移的和指的是＋＝. 依题意，有||＋||＝800＋800＝1600(km)． 又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°. 所以||＝ ＝＝800(km)． 其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°. 从而飞机飞行的路程是1600 km，两次飞行的位移的和的大小为800 km，方向为北偏东80°. 学科网（北京）股份有限公司 $