第1章 1 周期变化（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】北师大版

§1　周期变化 学业标准 素养目标 1．理解周期函数、周期、最小正周期的意义．(难点) 2．会用周期函数的定义，解决简单问题．(重点) 1．通过周期定义的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．通过周期定义的应用，提升直观想象等核心素养. [教材梳理] 导学　周期函数 　钟表的时针每12小时转一圈，它的变化是周期变化吗？ [提示]　是周期变化． 　已知函数f(x)的定义域为R且f(1＋x)＝f(x)，如果当x∈(0,1)时，f(x)＝x. (1)计算f(2.5)的值； [提示]　f(2.5)＝f(1＋1.5)＝f(1.5)＝f(1＋0.5)＝f(0.5)＝0.5. (2)f(x)是周期函数吗？ [提示]　是周期函数． ◎结论形成 1．周期函数、周期 一般地，对于函数y＝f(x)，x∈D，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈D，都有x＋T__∈__D，且满足__f(x＋T)＝f(x)__，那么函数y＝f(x)称作周期函数，非零常数T称作这个函数的__周期__ . 2．最小正周期 如果在周期函数y＝f(x)的所有周期中存在一个__最小的正数__，那么这个最小正数就称作函数y＝f(x)的最小正周期．若不加特别说明，本书所指周期均为函数的最小正周期． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若函数f(x)满足f(0)＝f(5)＝f(10)，则它的周期T＝5.(　　) (2)若函数f(x)的周期T＝5，则f(－5)＝f(0)＝f(5)．(　　) (3)若函数f(x)为R上的奇函数，且f(x＋2)＝f(x)，则f(2 022)＝0.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√ 2．若函数f(x)满足f(x＋3)－f(x)＝0，则函数f(x)是周期为________的周期函数． 解析　∵f(x＋3)＝f(x)， ∴f(x)是周期为3的周期函数． 答案　3 3．设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，0)时，f(x)＝－4x2＋2，则f的值为________． 解析　∵f(x)的周期为2， ∴f＝f＝f ＝－4×2＋2＝1. 答案　1 4．某十字路口处红绿灯亮、灭的情况如下：1 min亮绿灯，接着10 s亮黄灯，再接着1 min亮红灯，10 s亮黄灯，1 min亮绿灯……刚开始亮绿灯时，某人正好通过路口，10 min后又回到此路口，此时应该亮________灯． 解析　红绿灯的亮、灭以140 s为一个周期，因为600＝140×4＋40，所以应该亮绿灯． 答案　绿 题型一　周期函数的判断与求值问题一题多变 　已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋3)＝－f(x)．若当x∈(0,3]时，f(x)＝6x，则f(919)的值为__________ . [自主解答]　由f(x＋3)＝－f(x)，得 f(x＋6)＝f[(x＋3)＋3]＝－f(x＋3)＝f(x)， 故f(x)是周期为6的周期函数， 所以f(919)＝f(6×153＋1)＝f(1)＝6. [答案]　6 [母题变式] 1．若本例的条件“f(x＋3)＝－f(x)”变为“f(x)·f(x＋3)＝－1”，其他不变，则f(919)的值为________ . 解析　由已知，得f(x＋3)＝－， 所以f(x＋6)＝f[(x＋3)＋3]＝－＝f(x)，故函数f(x)的周期为6. 所以f(919)＝6. 答案　6 2．本例变为：已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)的值为________ . 解析　由条件f(x＋4)＝f(x－2)，得 f(x＋6)＝f[(x＋2)＋4]＝f(x＋2－2)＝f(x)， 故f(x)是周期为6的周期函数， 所以f(919)＝f(6×153＋1)＝f(1)． 又f(x)是偶函数，所以f(1)＝f(－1)＝6， 故f(919)＝6. 答案　6 3．本例变为：设函数y＝f(x)，x∈R.若函数y＝f(x)为奇函数，且图象关于直线x＝a(a≠0)对称，求证：函数y＝f(x)是以4a为周期的周期函数． 解析　证明　若f(x)为奇函数，则图象关于原点对称，且f(－x)＝－f(x)， 由题意，得f(2a＋x)＝f(－x)， 所以f(2a＋x)＝f(－x)＝－f(x)， 所以f(4a＋x)＝f(x)，故f(x)是以4a为周期的周期函数． [方法技巧] 1．函数周期性的判断 利用函数的周期性定义判断函数的周期，只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)即可，有时也可画出f(x)的图象，直观判断f(x)的周期性． 2．周期函数的常见结论 周期函数y＝f(x)， (1)若f(x＋a)＝f(x－a)(a＞0)，则函数的周期为2a. (2)若f(x＋a)＝－f(x)(a＞0