第2章 8 实际问题中的最值问题（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【精讲精练】北师大版

　数学探究活动(二)：探究函数性质 导数是函数的瞬时变化率．根据导数的几何意义，可依据导数的符号和绝对值的大小来判定函数的增减性以及增减的快慢，因此导数是研究函数性质的强有力的工具，为研究函数的单调性、极值、最值、零点等带来极大的方便． 　[探究案例]　　　　　　　　　　　　　　　　　 [案例1]　用导数探究函数f(x)＝x3－4x＋4的性质和图象 [探究]　f′(x)＝(x＋2)(x－2)，令f′(x)＝0得x＝－2或x＝2，列表如下： x (－∞，－2) －2 (－2,2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值－ 单调 递增 由上表可得，f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)，单调递减区间(－2,2)， 函数f(x)的极大值为f(－2)＝， 极小值为f(2)＝－， 所以函数f(x)的大致图象． [案例2]　用导数探究函数f(x)＝－3x3＋x－1的性质和图象 [探究]　f′(x)＝－9x2＋1，令f′(x)＝0得x＝－或x＝. 列表如下： x － f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x) 单调递减 极小值 － 单调递增 极大值 － 单调递减 由上表可知f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为，，函数f(x)的极大值为f＝－，极小值为f＝－，所以函数f(x)的大致图象： [探究归纳]　 用导数探究f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的性质与图象 (1)三次函数有极值的充要条件 三次函数y＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)有极值⇔导函数f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝0的判别式Δ＝4b2－12ac＞0，即“三次问题”用“二次”求解． (2)三次函数的单调性与极值(设x1＜x2) ①当Δ≤0时，若a＞0，则f(x)在R上是增函数，如图(1)； 若a＜0，则f(x)在R上是减函数，如图(2)． ②当Δ＞0时，若a＞0，则f(x)的增区间为(－∞，x1)和(x2，＋∞)，减区间为(x1，x2)，f(x1)为极大值，f(x2)为极小值，如图(3)． 若a＜0，则f(x)的减区间为(－∞，x1)和(x2，＋∞)，增区间为(x1，x2)，f(x1)为极小值，f(x2)为极大值，如图(4). a的范围 Δ＞0 Δ≤0 a＞0 (3) (1) a＜0 (4) (2) [案例3]　已知函数f(x)＝－3x3＋x－1. (1)探究函数f(x)零点的个数； (2)探究实数m的范围，使关于x的方程－3x3＋m＝1－x恰有1个解． [探究]　由探究案例2知f(x)的大致图象． (1)由f(x)的图象知f(x)仅有一个零点； (2)由－3x3＋m＝1－x得－3x3＋x－1＝－m， 即转化为函数f(x)的图象与y＝－m恰有一个交点时，求m的取值范围． 由f(x)的图象知当：－m＞－或－m＜－， 即m＜或m＞时，y＝f(x)图象与y＝－m恰有一个交点， 即关于x的方程－3x3＋m＝1－x恰有1个解． [探究归纳]　用导数研究函数的零点(或方程的实数解)，其关键是用导数研究函数的性质(单调性、极值、最值等)，与x轴或y轴的交点等，结合性质画出函数的大致图象，从而研究函数的零点问题，数形结合思想在其中起到了关键作用，其本质就是考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养．注意解答此类问题必须“脑中有‘形’，心中有‘数’”，同时注意转化与化归思想的运用． 　[探究活动]　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．探究函数f(x)＝(其中h(x)＝ax或h(x)＝ax2，a≠0)的图象和性质． 参考　f(x)＝的图象如图所示 2．探究函数f(x)＝h(x)ln x(其中h(x)＝ax2＋bx＋c，a≠0)的图象和性质． 参考　f(x)＝x2ln x的图象如图所示 3．利用函数的图象和性质，研究关于x的方程 x2e2x＝m(m∈R)解的个数． 参考　y＝x2e2x的图象如图所示 4．已知函数f(x)＝x3－x. (1)求曲线y＝f(x)在点M(t，f(t))处的切线方程； (2)设a＞0，如果过点(a，b)可作曲线y＝f(x)的三条切线，证明：－a＜b＜f(a)． 解析　(1)f′(x)＝3x2－1， 所以曲线y＝f(x)在点M(t，f(t))处的切线方程为y－f(t)＝f′(t)(x－t)， 即y＝(3t2－1)x－2t3. (2)证明　如果曲线f(x)有一条切线过点(a，b)，则存在t，使b＝(3t2－1)a－2t3. 若过点(a，b)可作曲线y＝f(x)的三条切线， 则关于t的方程2t3－3at2＋a＋b＝0有三个相异的实数根． 记g(t)＝2t3－3at2＋a＋b， 则g′(