第1章 5 数学归纳法（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【精讲精练】北师大版

　数学归纳法 学业标准 素养目标 1．了解数学归纳法的原理．(难点) 2．掌握数学归纳法的步骤．(重点) 3．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．(难点) 1．通过数学归纳法的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．通过利用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题，提升逻辑推理、数学运算等核心素养. [教材梳理] 导学　数学归纳法 下图为多米诺骨牌： 　能使所有多米诺骨牌全部倒下的两个条件是什么？ [提示]　(1)第一块骨牌倒下； (2)任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下． 　你认为第二个条件的作用是什么？ [提示]　第二个条件给出了一个递推关系：当第k块倒下时，相邻的第k＋1块也倒下． ◎结论形成 1．数学归纳法 数学归纳法是用来证明某些与__正整数n__有关的数学命题的一种方法．它的基本步骤是： (1)证明：当n取__第一个值n0__(n0是一个确定的正整数，如n0＝1或2等)时，命题成立． (2)假设当n＝　k(k∈N＋，k≥n0)　时命题成立，证明当__n__＝k＋1时，__命题__也成立． 根据(1)(2)可以断定命题对一切从__n0开始的正整数n都成立__． 2．数学归纳法能保证命题对所有的正整数都成立的原因 下面以n0＝1时的情况加以说明． 根据数学归纳法证明命题的步骤(1)，证明了当n＝1时__命题__成立；根据数学归纳法证明命题的步骤(2)可知，当n＝1＋1＝2时命题成立．由于n＝2时命题成立，再根据数学归纳法证明命题的步骤(2)可知，当n＝2＋1＝3时命题也成立……这样__递推下去__，就可以知道当n＝4,5，…时命题也成立．即命题对__任意正整数n都成立__． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)用数学归纳法证明问题时，n的第一个可取值都是1.(　　) (2)与自然数n有关的问题只能用数学归纳法来进行证明．(　　) (3)在利用数学归纳法证明问题时，只要推理过程正确，也可以不用归纳假设．(　　) (4)用数学归纳法证明等式时，由n＝k到n＝k＋1，等式的项数不一定增加了一项．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．用数学归纳法证明首项是a1，公差是d的等差数列的前n项和公式是Sn＝na1＋d时，假设当n＝k时，公式成立，则Sk＝(　　) A．a1＋(k－1)d　　 B． C．ka1＋d D．(k＋1)a1＋d 解析　假设当n＝k时，公式成立，只需把公式中的n换成k即可，即Sk＝ka1＋d. 答案　C 3．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N＋)，在验证n＝1时，等式左边是(　　) A．1 B．1＋a C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3 解析　当n＝1时，左边＝1＋a＋a2.故选C. 答案　C 4．用数学归纳法证明关于n的恒等式，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当n＝k＋1时，表达式为____________． 解析　当n＝k＋1时，应将表达式1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2中的k更换为k＋1. 答案　1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)2 题型一　用数学归纳法证明等式 　用数学归纳法证明：1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1＝2n(2n－3)＋3(n∈N＋)． [证明]　(1)当n＝1时，左边＝1， 右边＝2×(2－3)＋3＝1，左边＝右边，所以等式成立． (2)假设当n＝k(k≥1)时，等式成立， 即1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k－1＝2k(2k－3)＋3. 则当n＝k＋1时，1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k－1＋(2k＋1)×2k＝2k(2k－3)＋3＋(2k＋1)×2k＝2k(4k－2)＋3＝2k＋1[2(k＋1)－3]＋3， 即当n＝k＋1时，等式也成立． 由(1)(2)知，等式对任意n∈N＋都成立． ●规律方法 用数学归纳法证明等式时，一是要弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；二是要弄清从n＝k到n＝k＋1等式两端的项是如何变化的，即增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明当n＝k＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并向当n＝k＋1时证明目标的表达式进行变形． [触类旁通] 1．用数学归纳法证明： ＋＋…＋＝(n∈N＋)． 证明　(1)当n＝1时左边＝，右边＝，左边＝右边，等式成立． (2)假设当n＝k(k≥1)时等式成立， 即有＋＋…＋＝， 则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＝＋＝， 即当n＝k＋1时等式也成立． 由(1)(2)可得，对于任意n∈N＋等式都成立． 题型二　用数学归纳法证明不等式 　用数学归纳法证明：＋＋…＋＞1－＋－＋…＋