第1章 4 数列在日常经济生活中的应用（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【精讲精练】北师大版

　数列在日常经济生活中的应用 学业标准 素养目标 1．了解数列在“零存整取”“定期自动转存”“分期付款”等经济活动中的应用． 2．能在具体的问题情境中，发现并建立等差数列或等比数列这两种数学模型，解决一些实际问题. 1．通过学习银行存款中的单利和复利的计息方式，培养数学抽象、数学运算等核心素养． 2．利用等差、等比数列的相关知识解决经济生产中的问题，提升数学建模等核心素养. [教材梳理] 导学　单利与复利 　小王2020年5月16日存入银行1 000元，年利率为1.75%. (1)计算到2021年5月16日得到的本利和； (2)办理一年定期储蓄，以后按约定自动转存，计算到2025年5月16日得到的本利和． [提示]　(1)1 000×(1＋1.75%)＝1017.5(元)． (2)1 000×(1＋1.75%)5≈1090.62(元)． ◎结论形成 单利、复利 单利 单利的计算是仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息．其公式为利息＝本金×利率×存期． 以符号P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本金与利息和(以下简称本利和)，则有S＝__P(1＋nr)__． 复利 复利是指一笔资金除本金产生利息外，在下一个计息周期内，以前各计息周期内产生的利息也计算利息的计息方法. 复利的计算公式是S＝　P(1＋r)n　. [拓展]　 1．单利和复利分别以等差数列和等比数列为数学模型． 2．零存整取、活期储蓄、定期储蓄等都是计单利的储蓄模型． 3．定期自动转存是计复利的储蓄类型． 4．复利计算是把上期末的本利和作为下一期的本金，在计算时每一期本金的数额是不同的． [基础自测] 1．某单位某年12月份产量是同年1月份产量的m倍，那么该单位此年产量的月平均增长率是(　　) A.　　　　　　　 B． C.－1 D．－1 解析　设1月份产量为a，则12月份产量为ma，设平均增长率为x，则a(1＋x)11＝ma， 所以x＝－1. 答案　C 2．小李年初向银行贷款m万元用于购房，购房贷款的年利率为p，按复利计算，并从借款后次年年初开始还款，分10次等额本息还清，每年1次，问每年应还____________万元．(　　) A. B． C. D． 解析　设每年应还x万元，则x＋x(1＋p)＋x(1＋p)2＋…＋x(1＋p)9＝m(1＋p)10，＝m(1＋p)10，x＝.故选B. 答案　B 3．现存入银行10 000元，年利率是3.60%，那么按照复利，第5年末的本利和是(　　) A．10 000×1.0363 B．10 000×1.0364 C．10 000×1.0365 D．10 000×1.0366 解析　由复利公式得 S＝10 000×(1＋3.60%)5＝10 000×1.0365. 答案　C 4．阿明存入5万元定期存款，存期1年，年利率为2.25%，到期后自动转存，那么10年后共得本利和为____________万元．(精确到0.001) 解析　10年后的本利和S＝5×(1＋0.022 5)10≈6.246(万元)． 答案　6.246 题型一　等差数列模型的应用 　某人从1月起每月第一天存入100元，到12月最后一天取出全部本金和利息，已知月利率是0.165%，按单利计息，那么实际取出多少钱？ [解析]　实际取出的钱等于本金＋利息． 第1个月存款利息：100×12×0.165%， 第2个月存款利息：100×11×0.165%， …… 第11个月存款利息：100×2×0.165%， 第12个月存款利息：100×1×0.165%， 所以S12＝100×12×0.165%＋100×11×0.165%＋…＋100×2×0.165%＋100×1×0.165% ＝100×0.165%×(1＋2＋3＋…＋12) ＝100×0.165%×＝12.87. 所以实际取出100×12＋12.87＝1 212.87(元)． [答案]　1 212.87 ●规律方法 (1)利用等差数列模型解答问题，首先要判断和证明数列是等差数列； (2)一定要弄清数列的首项、公差和项数等，要分清是数列的通项问题还是数列的求和问题． [触类旁通] 1．某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1 150万元，购买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150万元后的第一个月是开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部按期付清后，买这40套住房实际花了多少钱？ 解析　因购房时先付150万元， 则欠款1 000万元，依题意分20次付款， 则每次付款的数额顺次构成数列{an}． 则a1＝50＋1 000×1%＝60， a2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5， a3＝5