1.4 第2课时 角平分线的性质定理的逆定理（讲解课件）-【优翼·学练优】2022-2023学年八年级下册初二数学同步备课（湘教版）

1.4 角平分线的性质 第1章 直角三角形 第2课时 角平分线的性质定理的逆定理 优翼八下数学教学课件（XJ） 复习回顾 O D P P 到 OA 的距离 P 到 OB 的距离 角平分线上的点 几何语言描述： ∵ OC 平分∠AOB， 且 PD⊥OA， PE⊥OB. ∴ PD = PE. A C B 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 1. 叙述角平分线的性质定理 不必再证全等 E 导入新课 2. 我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等.那么到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？ 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 角平分线的性质定理的逆定理 P A O B C D E 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 问题：交换角的平分线的性质中的条件和结论，你能 得到什么命题，这个新命题正确吗？ 角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. ∵ OC 平分 ∠AOB， 且 PD⊥OA， PE⊥OB ， ∴ PD = PE 几何 语言： 猜想： 思考：这个命题正确吗？ 新课讲授 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是 D、E，PD = PE. 求证：点 P 在∠AOB 的平分线上. 证明： 作射线 OP， ∴点 P 在∠AOB 的平分线上. 在 Rt△PDO 和 Rt△PEO 中， OP = OP (公共边)， PD = PE (已知)， B A D O P E ∵PD⊥OA，PE⊥OB. ∴∠PDO = ∠PEO = 90°， ∴Rt△PDO≌Rt△PEO (HL). ∴∠AOP = ∠BOP (全等三角形的对应角相等). 证明猜想 角平分线性质定理的逆定理： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. P A O B C D E 应用所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边的距离相等. 定理的作用：判断点是否在角平分线上. 应用格式： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE. ∴点 P 在 ∠AOB 的平分线上. 知识总结 典例精析 例1：如图，要在 S 区建一个贸易市场，使它到铁路和公路的距离相等，并且离公路与铁路交叉处距离为 500 米，这个集贸市场应建在何处 （比例尺为 1︰20000）？ D C S 解：作夹角的角平分线 OC， 截取 OD = 2.5 cm ，D 即为所求. O 方法点拨：根据角平分线的判定定理，要求作点到两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这条角平分线上根据要求取点. 活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？ 三角形的内角平分线 发现：三角形的三条角平分线相交于一点. 活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一 量，每组垂线段，你发现了什么？ 发现：过交点作三角形三边的 垂线段相等 你能证明这个结论吗？ 已知：如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P， 求证：点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等. 证明结论 证明：过点 P 作 PD，PE，PF 分别垂直于 AB，BC，CA，垂足分别为 D，E，F. ∵BM 是 △ABC 的角平分线， 点 P 在 BM 上， ∴PD = PE. 同理 PE = PF. ∴PD = PE = PF. 即点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等. D E F A B C P N M 想一想：点 P 在∠A 的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？ 点 P 在 ∠A 的平分线上. 结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等. D E F A B C P N M 变式1：如图，在直角 △ABC 中，AC ＝ BC，∠C ＝90°，AP 平分∠BAC，BD 平分∠ABC；AP，BD 交于点 O，过点 O 作 OM⊥AC，若 OM ＝ 4， (1) 求点 O 到 △ABC 三边的距离和. M E N A B C P O D 温馨提示：不存在垂线段———构造应用 12 解：连接 OC， (2)若 △ABC 的周长为 32，求 △ABC 的面积. M E N A B C P O D 2.联系角平分线性质： 距离 面积 周长 知识与方法 1.应用角平分线性质： 存在角平分线 涉及距离问题 条件 例2 如图，在 △ABC 中，点 O 是 △ABC 内一点，且点 O 到 △ABC 三边的距离相等． 若∠A＝40°，则 ∠BOC 的度数为 (　　). A．110° B．120° C．