1.4 第1课时 角平分线的性质定理（讲解课件）-【优翼·学练优】2022-2023学年八年级下册初二数学同步备课（湘教版）

1.4 角平分线的性质 第1章 直角三角形 第1课时 角平分线的性质定理 优翼八下数学教学课件（XJ） 挑战第一关 情境引入 问题1：在纸上画一个角，你能得到这个角的平分 线吗？ 用量角器度量，也可用折纸的方法．　　 问题2：如果把前面的纸片换成木板、 钢板等，还能用对折的方法得到木板、 钢板的角平分线吗？ 导入新课 提炼图形 问题3：如图，是一个角平分仪，其中AB = AD，BC = DC.将点 A 放在角的顶点，AB 和 AD 沿着角的两边放下，沿 AC 画一条射线 AE，AE 就是角平分线， 你能说明它的道理吗? A B C (E) D 其依据是 SSS，两全等三角形的 对应角相等. 1.操作测量：取点 P 的三个不同的位置，分别过点 P 作 PD⊥OA，PE ⊥OB，点 D，E 为垂足，测量 PD、PE 的长.将三次数据填入下表： 2. 观察测量结果，猜想线段 PD 与 PE 的大小关系， 写出结：__________ PD PE 第一次 第二次 第三次 PD = PE C O B A P D E 实验：OC 是∠AOB 的平分线，点 P 是射线 OC 上的 任意一点 角平分线的性质 新课讲授 验证猜想 已知：如图， ∠AOC = ∠BOC，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E. 求证：PD = PE. P A O B C D E 证明： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ ∠PDO = ∠PEO = 90°. 在 △PDO 和 △PEO 中， ∠PDO = ∠PEO， ∠DOP = ∠EOP， OP = OP， ∴ △PDO≌△PEO(AAS). ∴ PD = PE. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 应用所具备的条件： (1) 角的平分线； (2) 点在该平分线上； (3) 垂直距离. 定理的作用： 证明线段相等. 知识要点 B A D O P E C 应用格式： ∵ OP 是∠AOB 的平分线， ∴ PD = PE. PD⊥OA，PE⊥OB， 推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个. (角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等). 判一判：(1)∵如下左图，AD 平分∠BAC (已知)， ∴ ＝ ，( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 BD CD × B A D C (2) ∵如上右图，DC⊥AC，DB⊥AB (已知). ∴ = ， ( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 BD CD × B A D C 例1 已知：如图，在 △ABC 中，AD 是它的角平分线，且 BD = CD， DE⊥AB， DF⊥AC. 垂足分别为 E，F. 求证：EB = FC. A B C D E F 证明：∵AD 是 ∠BAC 的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴ DE = DF，∠DEB =∠DFC = 90°. 在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中， DE = DF， BD = CD， ∴ Rt△BDE≌Rt△CDF (HL). ∴ EB = FC. 例2 如图，AM 是∠BAC 的平分线，点 P 在 AM 上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是 D，E，PD = 4 cm，则 PE = ______cm. B A C P M D E 4 温馨提示：存在两条垂线段———直接应用 A B C P 变式：如图，在 Rt△ABC 中，∠C ＝ 90°，AP 平分∠BAC 交 BC 于点 P，若 PC ＝ 4， AB ＝ 14. (1) 则点 P 到 AB 的距离为_______； (2) 求 △APB 的面积. D 4 温馨提示：存在一条垂线段——构造应用 故 AB·PD = 28. 解：由角平分线的性质知 PD = PC = 4， 1. 应用角平分线性质： 存在角平分线 涉及距离问题 2. 联系角平分线性质： 面积 周长 条件 知识与方法 利用角平分线的性质所得到的等量关系进行转化求解 2. △ABC中，∠C = 90°，AD 平分∠CAB，且 BC = 8，BD = 5，则点 D 到 AB 的距离是 . A B C D 3 E 1. 如图，DE⊥