专题17.2 勾股定理的逆定理-【帮课堂】2022-2023学年八年级数学下册同步精品讲义（人教版）

专题17.2 勾股定理的逆定理 1、熟练掌握勾股定理逆定理判断直角三角形，能够运用勾股定理逆定理解决简单的实际问题。 2、理解勾股数的概念，并能准确判断一组数是不是勾股数。 3、熟练掌握分类讨论的数学思想。 知识点01 勾股定理的逆定理 【知识点】 1）勾股定理的逆定理：如果三角形三边长分别为a，b，c，满足a2+b2=c2，则这个三角形是以c为斜边的直角三角形。 2）勾股定理逆定理的证明：如图，AB=c，AC=b，CB=a，当a2+b2=c2，证明：△ABC是直角三角形。 证明：过点A作AD垂直于CB交CB于点D，设CD=x。 根据勾股定理b2－x2=c2－（a ±x）2 将a2+b2=c2代入得±2ax=0 ∴x=0 ∴点D与点C重合 ∴AC⊥CB ∴△ABC为直角三角形 注：勾股定理的逆定理主要用于证明三角形是直角三角形。 1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. 2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 【知识拓展1】直角三角形的判定 例1．（2022·安徽芜湖·八年级期末）已知的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（       ） A． B． C．，， D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．可判断A、C选项；根据三角形内角和定理可判断B、D选项． 【详解】解：A选项中，∵c2＝a2﹣b2，∴b2+c2＝a2，∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； B选项中，∵ 设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x， ∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴3x+4x+5x＝180°，解得x＝15°， ∴∠C＝5×15°＝75°，∴此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意； C选项中，∵52+122＝132，∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； D选项中，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠B+∠C，∴∠A＝90°， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意．故选：B． 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理、三角形内角和定理，熟知三角形内角和定理是解题的关键． 【即学即练1】 1．（2022·广西贵港·八年级期末）下列条件：①；②，，；③；④．其中能判定是直角三角形的有（       ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】由直角三角形的定义，只要验证最大角是否是；由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可． 【详解】①，，能判定是直角三角形； ②，∴，能判定是直角三角形； ③，，，能判定是直角三角形； ④，，，能判定是直角三角形； 综上所述，能判定是直角三角形的有4个．故选：A． 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．也考查了三角形内角和定理． 【知识拓展2】勾股定理的逆定理的应用（1）面积问题 例2．（2022·陕西八年级期末）为迎接十四运，我区强力推进“三改一通一落地”，加速城市更新步伐．绿地广场有一块三角形空地将进行绿化，如图，在中，，E是上的一点，，，． （1）判断的形状，并说明理由．（2）求线段的长． 【答案】（1）是直角三角形；理由见解析；（2）线段的长为16.9． 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理证明即可；（2）设，则，由勾股定理列得，代入数值得，计算即可． 【详解】解：（1）是直角三角形． 理由：∵， ∴，∴，∴，∴是直角三角形． （2）设，则，由（1）可知是直角三角形， ∴，∴，解得，∴线段的长为16.9． 【点睛】此题考查勾股定理及逆定理，熟练掌握勾股定理及逆定理的运算及应用是解题的关键． 【即学即练2】 1．（2022·天津八年级期中）如图，四边形中，，，，，且，则四边形的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接AC，在Rt△ADC中，已知AB，BC的长，运用勾股定理可求出AC的长，在△ADC中，已知三边长，运用勾股定理逆定理，可得此三角形为直角三角形，故四边形ABCD的面积为Rt△ACD与Rt△ABC的面积之差． 【详解】解：连接AC， ∵∴AC=5cm， ∵CD=12cm，DA=13cm， ∴△ADC为直角三角形， ∴故四边形ABCD的面积为24cm2．故选：C． 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积公式，根据题意作出辅助线，判断出△ACD的形状是解答此题的关键． 2．（2022·山东聊城·八年级期末）聊城市在创建“全国文明城市”期间，某小区在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，经技术人员的测量，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝