专题14 平行线中的角平分线综合问题-【微专题】2022-2023学年七年级数学下册常考点微专题提分精练（北师大版）

专题14 平行线中的角平分线综合问题 【例题讲解】 如图1，AB∥CD，点E，F分别在直线CD，AB上，∠BEC＝2∠BEF，过点A作AG⊥BE的延长线交于点G，交CD于点N，AK平分∠BAG，交EF于点H，交BE于点M． （1）直接写出∠AHE，∠FAH，∠KEH之间的关系：________； （2）若∠BEF＝∠BAK，求∠AHE； （3）如图2，在（2）的条件下，将△KHE绕着点E以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为t，当KE边与射线ED重合时停止，则在旋转过程中，当△KHE的其中一边与△ENG的某一边平行时，直接写出此时t的值． 解：（1）∵AB∥CD∴∠KEH=∠AFH∵∠AHE=∠AFH+∠FAH∴∠AHE=∠KEH+∠FAH 故答案为： ∠AHE=∠KEH+∠FAH （2）设∠BEF=x∵∠BEF= ∠BAK，∠BEC=2∠BEF∴∠BAK=∠BEC=2x ∵AK平分∠BAG∴∠BAK=∠KAG=2x 由（1）的结论可得：∠AME=2x+2x=4x，∠AHE=2x+3x=5x ∵AG⊥BE∴∠G=90°∴∠AME+∠KAG=2x+4x=90°∴x=15°∴∠AHE=5x=75°； （3）由（2）可得，∠KHE=105°，∠BEF=15°，∠HEK=45°，∠NEG=30°，∠ENG=60° ①当KH∥NG时 5°×t=60°-30°=30° ∴t=6 ②当KE∥GN时 5°×t=60° ∴t=12 ③当HE∥GN时 5°×t=45°+60°=105° ∴t=21 ④当HK∥EG时， 5°×t=180°-30°-30°=120° ∴t=24 ⑤当HK∥EN时，5t=150° ∴t=30 综上所述，t的值为：6或12或21或24或30． 【综合演练】 1．已知直线，直线分别与、交于点、，直线经过点，与交于点，且． (1)如图所示，当时， ①求的度数； ②在直线上取一点，使得，求的度数． (2)如图所示，在射线上任取一点，连接，的角平分线和的角平分线交于点，请写出、、间的数量关系，并说明理由． 2．已知，ABCD，CF平分∠ECD． (1)如图1，若∠DCF＝25°，∠E＝20°，求∠ABE的度数． (2)如图2，若∠EBF＝2∠ABF，∠CFB的2倍与∠CEB的补角的和为190°，求∠ABE的度数． (3)如图3，在（2）的条件下，P为射线BE上一点，H为CD上一点，PK平分∠BPH，HNPK，HM平分∠DHP，∠DHQ＝2∠DHN，求∠PHQ的度数． 3．如图，，点，为直线，上两定点，． (1)如图1，当点在左侧时，，，满足数量关系为 ； (2)若平分，平分，； ①如图2，点在左侧时，求的角度； ②如图3，点在右侧，求的角度； (3)如图4，平分，平分，，点在右侧，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点；此次类推，则= ．（直接写出结果） 4．如图，已知． (1)求证：； (2)若平分，交于点，交于点，且，求的度数． 5．如图1，点E在射线BA、DC之间，且． (1)求证：； (2)如图2，若点F是射线BA上的一点，且，EG平分交射线BA于点G，，求的度数． 6．（1）如图1，点E在BC上，∠A＝∠D，∠ACB＝∠CED．请说明ABCD的理由． （2）如图2，ABCD，BG平分∠ABE，与∠EDF的平分线交于H点，若∠DEB比∠DHB大60°．求∠DEB的度数． （3）保持（2）中所求的∠DEB的度数不变，如图3，ABCD，BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，作BPDN，则∠PBM的度数是否改变？若不变，请直接写出∠PBM的度数；若改变，请说明理由． 7．如图1，直线与直线，分别交于点，，与互为补角 (1)请判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，与的角平分线与交于点，延长与交于点，过点作垂足为，求证：； (3)在（2）的条件下，连接，点是上一点，连接，使，作的平分线交于点，请画出图形．并直接写出的度数． 8．如图所示，已知ABCD，C在D的右侧，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在直线交于点E，∠ADC＝70°． (1)求∠EDC的度数； (2)若∠ABC＝n°，求∠BED的度数（用含n的式子表示）； (3)将线段BC沿DC方向平移，使得点B在点A的右侧，其他条件不变，若∠ABC＝n°，求∠BED的度数（用含n的式子表示）． 9．（1）（问题）如图1，若，，，求的度数． （2）（问题迁移）如图2，，点在的上方，问，，之间有何数量关系？请说明理由； （3）（联想拓展）如图3所示，在（2）的条件下，已知，，的平分线和的平分线交于点，直接写出的度数． 10．如图，已知，点P是射线上一动点（不与点A重合）．分别平分和，分别交射线于点． (1)【问题