精品解析：上海市南洋模范中学2021-2022学年高二上学期期末数学试题

上海市南洋模范中学2021-2022学年高二上期末数学试卷 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 甲校有3600名学生,乙校有5400名学生,丙校有1800名学生.为统计三校学生某方面情况,计划采用分层抽样法,抽取一个样本容量为90人的样本,则应在甲校抽取的学生数是___________. 2. 现有高一学生9人，高二学生12人，高三学生7人，自发组织参加数学课外活动小组，从中推选两名来自不同年级的学生做一次活动的主持人，则不同的选法有__种. 3. 若，则__. 4. 如图所示，绕直角边所在直线旋转一周形成一个圆锥，已知在空间直角坐标系中，点和点均在圆锥的母线上，则圆锥的体积为__________． 5. 已知直线的方向向量为，点在上，则点到的距离为___________. 6. 图1中机械设备叫做“转子发动机”，其核心零部件之一的转子形状是“曲侧面三棱柱”，图2是一个曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，底面是“莱洛三角形”，莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，如图3.若曲侧面三棱柱的高为5，底面任意两顶点之间的距离为20，则其侧面积为__. 7. 两人下棋，每局两人获胜的可能性一样.某一天两人要进行一场三局两胜的比赛，最终胜利者赢得100元奖金.第一局比赛胜，后因为有其他要事而中止比赛，则将100元奖金公平分给两人，则应该得到的奖金数为__元. 8. 复印纸幅面规格只采用系列和系列，其中系列的幅面规格为：①所有规格的纸张的幅宽（以表示）和长度（以表示）的比例关系都为；②将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；；如此对开至规格．现有纸各一张．若纸的幅宽为，则这9张纸的面积之和等于__． 9. 已知球的半径为是球面上的两点，且，若点是球面上任意一点，则的取值范围是__________． 10. 如图，现将一张正方形纸片进行如下操作：第一步，将纸片以为顶点，任意向上翻折，折痕与交于点，然后复原，记；第二步，将纸片以为顶点向下翻折，使与重合，得到折痕，然后复原，记；第三步，将纸片以为顶点向上翻折，使与重合，得到折痕，然后复原，记；按此折法从第二步起重复以上步骤，得到，则__. 11. 取棱长为a的正方体的一个顶点，过从此顶点出发的三条棱的中点作截面，依次进行下去，对正方体的所有顶点都如此操作，所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体，如图所示．则此多面体： ①有12个顶点；②有24条棱；③有12个面； ④表面积为3a2；⑤体积为． 以上结论正确的是________________．（填上所有正确的序号） 12. 设数列的前项和为，，()，(，).且､均为等差数列，则_________. 二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分） 13. 若为两条异面直线外的任意一点，则（　　） A. 过点有且仅有一条直线与都平行 B. 过点有且仅有一条直线与都垂直 C. 过点有且仅有一条直线与都相交 D. 过点有且仅有一条直线与都异面 14. 已知数列满足，那么（ ）． A. 是等差数列 B. 是等差数列 C. 是等差数列 D. 是等差数列 15. 空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 16. 北京大兴国际机场显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面的内角叫像多面体的面角，角度用弧度制)，多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为.给出下列三个结论： ①正方体各顶点的曲率为； ②任意三棱锥的总曲率均为； ③将棱长为3的正方体正中心去掉一个棱长为1的正方体所形成的几何体的总曲率为. 其中，所有正确结论的序号是（ ） A ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 三、解答题（本大题共5题，满分76分） 17. 如图，在直三棱柱中，. （1）若，求证：平面； （2）若，是棱上的一动点.试确定点的位置，使点到平面的距离等于. 18. 现有31行67列表格一个，每个小格都只填1个数，从左上角开始，第一行依次为；第二行依次为；依次把表格填满.现将此表格的数按另一方式填写，从左上角开始，第一列从上到下依次为；第二列从上到下依次为；依次把表格填满.若分别表示第一次和