7.4.2超几何分布 课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.4.2 超几何分布 追问1：采用有放回抽样，随机变量服从二项分布吗？ 每次抽到次品的概率为0.3，且各次抽样的结果相互独立， 此时X服从二项分布,即 追问2：采用不放回抽样，抽取的3件产品中次品数服从二项分布吗？若不服从，那么的分布列是什么？ 不服从，根据古典概型求X的分布列. 问题：已知10件产品中有3件次品，分别采用有放回和不放回方式随机抽取3件．设抽取的3件产品中次品数为，求随机变量的分布列. 探究 思考：“不放回逐个抽取”与“不放回一次性抽取”，次品数X的分布列是否相同？ 结论：“不放回逐个抽取”与“不放回一次性抽取”，次品数X的分布列相同，因此在计算分布列时无需考虑抽取次序. 问题：已知10件产品中有3件次品，采用不放回方式随机抽取3件．设抽取的3件产品中次品数为，求随机变量的分布列. 探究 解：次品数X可能取0,1,2,3，从10件产品中任取3件有 种不同的取法，恰有k件次品的取法有种. 由古典概型知，随机变量X的分布列为 问题：已知10件产品中有3件次品，采用不放回方式随机抽取3件．设抽取的3件产品中次品数为，求随机变量的分布列. 探究 X 0 1 2 3 P 超几何分布的注意问题： (1)“由较明显的两部分组成”：如“男生、女生”，“正品、次品”； (2) 不放回抽样：“任取n件” 应理解为“不放回地一次取一件，连续取n件”. 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品的次品数，则X的分布列为 其中 如果随机变量X的分布列具有上式形式，称随机变量X服从超几何分布. 超几何分布 例1 从50名学生中随机选出5名学生代表,求甲被选中的概率. 解：设表示选出的5名学生中含甲的人数，则服从超几何分布， 且. 容易发现，每个人被抽到的概率都是 . 这个结论非常直观，上述解答过程就是这一结论的推导过程. 因此甲被选中的概率为 例2 一批零件共有30个，其中有3个不合格.随机抽取10个零件进行检测,求至少有1件不合格的概率. 变式：条件不变，求至多有1件不合格的概率. 思考：服从超几何分布的随机变量的均值是什么? 探究 设随机变量 X 服从超几何分布，则 X 可以解释为从包含 M 件次品的 N 件产品中，不放回地随机抽取 n 件产品中的次品数. 令 ，则 p 是 N 件产品的次品率，而 是抽取的 n 件产品的次品率. 例6 一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中随机地摸出20个球作为样本.用X表示样本中黄球的个数. (1）分别就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列; (2）分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过0.1的概率. 解：(1) 对于有放回摸球，每次摸到黄球的概率为0.4，且各次试验之间的结果是独立的，因此的分布列为 对于不放回摸球, 各次试验的结果不独立, 服从超几何分布, 的分布列为 (2)利用统计软件计算出两个分布列的概率值(精确到0.00001), 如下表所示. 样本中黄球的比例 是一个随机变量, 根据表中数据计算得 因此, 在相同的误差限制下, 采用不放回摸球估计的结果更可靠些. 不放回摸球: 有放回摸球: 两种摸球方式下，随机变量X分别服从二项分布和超几何分布，虽然这两种分布有相等的均值(都是8)，但从两种分布的概率分布图(如下图)看，超几何分布更集中在均值附近. 二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取的件产品中次品数的分布规律，并且二者的均值相同. 对于不放回抽样，当远远小于时，每抽取一次后，对的影响很小，此时，超几何分布可以用二项分布近似. 辨析概念 超几何分布 二项分布 试验类型 抽样 抽样 试验种数 有 种物品 有 种结果 总体个数 个 个 随机变量取值的概率 利用 计算 利用 计算 联系 当 时，超几何分布 二项分布 不放回 放回 两 两 有限 无限 古典概型 独立重复试验 总体N很大 近似 超几何分布与二项分布的联系与区别： 课堂小结 1. 超几何分布 若随机变量服从超几何分布，则有 2. 超几何分布的均值 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品的次品数，则X的分布列