4.2.5正态分布-【高效课堂】2022-2023学年高二数学同步精讲课件（人教B版2019选择性必修第二册）

4.2.5正态分布 一、二项分布与正态曲线 思考：已知X服从参数为100，0.5的二项分布，即X~B(100，0.5），你能手工计算出P(X=50)的值吗？ 因为 所以，如果要手工计算P(X=50)，是一个“几乎不可能”完成的任务，即使是一般的计算器也难以胜任类似的计算。 事实上，利用计算机软件可知 因此 这正是18世纪30年代数学家棣莫弗所研究过的问题，在讨论这个问题的过程中，棣莫弗发现了本小节我们要学习的正态曲线. 一、二项分布与正态曲线 思考：已知X服从参数为100，0.5的二项分布，即X~B(100，0.5），你能手工计算出P(X=50)的值吗？ 由此可以看出，如果随机变量X~B(n，p)，那么n较大时， 直接计算 将是十分困难的。 有没有其他办法能得到上式的近似值呢？ 我们已经知道，服从二项分布的随机变量，其分布列可以用图直观地表示出来，例如，若 ，则X的分布列如下. X 0 1 2 3 4 5 6 P X的分布列可以用右图直观地表示出来， 其中每一个矩形的宽为1，高为对应的概率值. 此时，右图具有以下性质： （1）中间高、两边低; （2）图形关于直线X=3对称，而且 （3）某一整数上方的矩形面积正好等于P(X=k)，其中，k=0,1,2,3,4,5,6; （4）所有矩形的面积之和为1. 事实上，很多服从二项分布的随机变量分布列的直观图都具有类似的特点.例如，若 ，则其分布列可用下左图表示；若 ，则其分布列可用下右图表示. 由上面的两图可以看出，当n充分大时，X~B(n，p)的直观表示总是具有中间高、两边低的“钟形”. 而且，对不同的参数，只是钟形的宽度和高度不一样而已 . 那么，是否存在一个函数 ，它对应的图像能够近似这些钟形（如上右图）呢？ 如果这样的函数存在的话，要计算X落在某区间内的概率，只需计算对应曲线与x轴在适当区间所围成的面积即可. 事实上，这样的函数 是存在的，这也正是棣莫弗的发现， 具体地， 的解析式中含有 和 两个参数，其中： ， 即X的均值； ，即X的标准差 . 一般地， 对应的图像称为正态曲线（也因形状而被称为“钟形曲线”， 也常常记为 ）. 由此可看出正态曲线的一些性质： （2）正态曲线与x轴所围成的图形面积为1； （1）正态曲线关于 对称（即 决定正态曲线对称轴的位置），具有中间高、两边低的特点; （3） 决定正态曲线的“胖瘦”： 越大，说明标准差越大，数据的集中程度越弱，所以曲线越“胖”； 越小，说明标准差越小，数据的集中程度越强，所以曲线越“瘦”. 例1：求正态曲线与 x 轴在下列区间内所围的面积（精确到0.001): （1） （2） （3） （4） (1）因为正态曲线是关于 x=μ 对称的， 而且正态曲线与x轴所围成的图形面积为1， 因此所求面积为0.5. 例1：求正态曲线与 x 轴在下列区间内所围的面积（精确到0.001): （1） （2） （3） （4） （2）利用对称性可知，所求面积为区间 内面积的2倍， 即约为 0.3413×2=0.6826≈0.683. 例1：求正态曲线与 x 轴在下列区间内所围的面积（精确到0.001): （1） （2） （3） （4） （3）利用对称性可知，所求面积约为 例1：求正态曲线与 x 轴在下列区间内所围的面积（精确到0.001): （1） （2） （3） （4） （4）利用对称性可知，所求面积约为 二、正态分布 一般地，如果随机变量 X